119. а) cos t = -1/2, [0; π]; б) cos t = √3/2, [0; π]; в) cos t = -√2/2, [0; π]; г) cos t = 0, [0; π].

Краткий ответ

а) \(t=\dfrac{2\pi}{3}\), точка \(P_{2\pi/3}=\left(-\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\);

б) \(t=\dfrac{\pi}{6}\), точка \(P_{\pi/6}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\right)\);

в) \(t=\dfrac{3\pi}{4}\), точка \(P_{3\pi/4}=\left(-\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\);

г) \(t=\dfrac{\pi}{2}\), точка \(P_{\pi/2}=(0;1)\).

Почему так

1. На единичной окружности \(\cos t\) — это абсцисса точки \(P_t\), то есть её координата \(x\).
2. Промежуток \([0;\pi]\) — это верхняя полуокружность. Поэтому уравнение \(\cos t=c\) решаем как пересечение верхней полуокружности с вертикальной прямой \(x=c\). Такое пересечение даёт ровно одну точку.
3. По определению арккосинуса \(\arccos c\in[0;\pi]\), значит, в данном промежутке \(t=\arccos c\).

Отсюда:

• \(\cos t=-\dfrac12\): \(t=\arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}\);
• \(\cos t=\dfrac{\sqrt3}{2}\): \(t=\arccos\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{6}\);
• \(\cos t=-\dfrac{\sqrt2}{2}\): \(t=\arccos\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\dfrac{3\pi}{4}\);
• \(\cos t=0\): \(t=\arccos0=\dfrac{\pi}{2}\).

Проверка

\[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac{\pi}{2}=0. \]

Все найденные \(t\) лежат в \([0;\pi]\).