упрости найди значение выражения
Сверь числа и знаки с фото.
\[ \frac{x^2+x+1}{4x+1}:\frac{x^3-1}{16x^2-1} \] \[ x=\frac{1}{2} \]
Кратко: после упрощения получается \(\frac{4x-1}{x-1}\), а при \(x=\frac12\) значение равно \(-2\).
На доске записано:
\[ \frac{x^2+x+1}{4x+1}:\frac{x^3-1}{16x^2-1},\qquad x=\frac12. \]
- Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{x^2+x+1}{4x+1}\cdot\frac{16x^2-1}{x^3-1}. \]
- Раскладываем на множители:
\[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), \] \[ 16x^2-1=(4x-1)(4x+1). \]
- Подставляем разложения и сокращаем общие множители \(x^2+x+1\) и \(4x+1\):
\[ \frac{x^2+x+1}{4x+1}\cdot \frac{(4x-1)(4x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{4x-1}{x-1}. \]
- Подставляем \(x=\frac12\):
\[ \frac{4\cdot\frac12-1}{\frac12-1} = \frac{2-1}{-\frac12} = -2. \]
Проверка по исходному выражению:
\[ \frac{7/4}{3}:\frac{-7/8}{3} = \frac{7}{12}:\left(-\frac{7}{24}\right) = -2. \]
Главное правило: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые, поэтому сначала нужно раскладывать выражения на множители. При \(x=\frac12\) знаменатели не обращаются в ноль, значит подстановка допустима.
Обсуждение
2 сообщенияКак 2-1/-1/2
В выражении
\[ \frac{4\cdot\frac12-1}{\frac12-1} \]
числитель и знаменатель считаем отдельно.
- Числитель:
\[ 4\cdot\frac12-1=2-1=1. \]
- Знаменатель:
\[ \frac12-1=\frac12-\frac22=-\frac12. \]
- Делим числитель на знаменатель:
\[ \frac{1}{-\frac12}=1:\left(-\frac12\right)=-2. \]
Можно и так: умножить числитель и знаменатель на \(2\):
\[ \frac{1}{-\frac12}=\frac{1\cdot 2}{-\frac12\cdot 2}=\frac{2}{-1}=-2. \]
Важно: это одна большая дробь \(\frac{2-1}{-\frac12}\), а не запись \(2-\frac{1}{-\frac12}\).
