23 упр

Ниже — готовый вариант под запись. Выбери тот пункт, который совпадает с условием упражнения 23; оба решения оформлены по схеме «Дано — Построение — Доказательство — Ответ».

Вариант 1. По двум сторонам и углу между ними

Дано: отрезки \(a\), \(b\) и угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Построение.

1. Проводим луч с началом в точке \(A\) и откладываем на нём \(AB=a\).
2. От луча \(AB\) откладываем угол \(\alpha\); на второй его стороне откладываем \(AD=b\).
3. Через точку \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\), а через точку \(D\) — прямую, параллельную \(AB\). Точку их пересечения обозначаем \(C\).
4. Соединяем отрезками \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство. По построению \(AB\parallel DC\) и \(AD\parallel BC\), значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны — по определению это параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\), то есть все данные выполнены.

Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — искомый параллелограмм; построение единственно с точностью до положения на плоскости.

Вариант 2. По диагоналям и углу между ними

Дано: отрезки \(d_{1}\), \(d_{2}\) и угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Построение.

1. Проводим две пересекающиеся прямые \(l_{1}\) и \(l_{2}\) так, чтобы угол между ними был равен \(\alpha\); точку пересечения обозначаем \(O\).
2. На прямой \(l_{1}\) по разные стороны от \(O\) откладываем \[ OA=OC=\frac{d_{1}}{2}. \]
3. На прямой \(l_{2}\) по разные стороны от \(O\) откладываем \[ OB=OD=\frac{d_{2}}{2}. \]
4. Соединяем точки последовательно: \(A\) с \(B\), \(B\) с \(C\), \(C\) с \(D\), \(D\) с \(A\).

Доказательство. В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам: \[ OA=OC,\qquad OB=OD. \] По признаку параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам) \(ABCD\) — параллелограмм. Кроме того, \[ AC=OA+OC=d_{1},\qquad BD=OB+OD=d_{2}, \] а угол между диагоналями равен \(\alpha\) по построению.

Ответ: четырёхугольник \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Что писать в «Ответ» одной строкой: «Построен параллелограмм \(ABCD\) с заданными сторонами (или диагоналями) и заданным углом; построение выполнено по признаку параллелограмма».

Готовый текст — можно переписывать сразу.

Вариант 1. По двум сторонам и углу

Дано: \(a\), \(b\), \(\angle\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\).

1. Откладываем \(AB=a\).
2. Строим \(\angle BAD=\alpha\), откладываем \(AD=b\).
3. Через \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\); через \(D\) — прямую, параллельную \(AB\). Точка пересечения — \(C\).
4. Соединяем \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство. \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), значит, \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Вариант 2. По диагоналям и углу

Дано: \(d_{1}\), \(d_{2}\), \(\angle\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\).

1. Проводим две прямые под углом \(\alpha\); точку пересечения обозначаем \(O\).
2. На первой прямой: \(OA=OC=\frac{d_{1}}{2}\).
3. На второй прямой: \(OB=OD=\frac{d_{2}}{2}\).
4. Соединяем \(A\)–\(B\)–\(C\)–\(D\).

Доказательство. Диагонали \(AC\) и \(BD\) точкой \(O\) делятся пополам (\(OA=OC\), \(OB=OD\)), значит, \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Если в упражнении даны стороны — пиши вариант 1, если диагонали — вариант 2. Чертёж делай по шагам построения.

Пиши в тетрадь так — выбери нужный вариант.

Вариант 1. По двум сторонам и углу между ними

Дано: отрезки \(a\), \(b\), угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), где \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Построение:

1. Откладываем \(AB=a\).
2. Строим \(\angle BAD=\alpha\) и откладываем \(AD=b\).
3. Через \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\); через \(D\) — прямую, параллельную \(AB\). Точку пересечения обозначаем \(C\).
4. Соединяем \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство: \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), значит, \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Вариант 2. По диагоналям и углу между ними

Дано: отрезки \(d_{1}\), \(d_{2}\), угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), где \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Построение:

1. Проводим две прямые под углом \(\alpha\); точку их пересечения обозначаем \(O\).
2. На первой прямой откладываем \(OA=OC=\frac{d_{1}}{2}\).
3. На второй прямой откладываем \(OB=OD=\frac{d_{2}}{2}\).
4. Соединяем точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) последовательно.

Доказательство: \(OA=OC\) и \(OB=OD\), значит, диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Если в упражнении даны стороны — переписывай вариант 1; если диагонали — вариант 2.

Понял — без чертежа. Пиши в тетрадь только текст.

Вариант 1. По двум сторонам и углу между ними

Дано: отрезки \(a\), \(b\), угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Построение (описание): откладываем сторону \(AB=a\), от неё строим угол \(\alpha\) и откладываем \(AD=b\). Через точки \(B\) и \(D\) проводим прямые, параллельные \(AD\) и \(AB\) соответственно; их точка пересечения — вершина \(C\). Соединяем \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство: по построению \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны, то есть это параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\) — все данные выполнены.

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Вариант 2. По диагоналям и углу между ними

Дано: отрезки \(d_{1}\), \(d_{2}\), угол \(\alpha\). Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Построение (описание): проводим две прямые под углом \(\alpha\), точку пересечения обозначаем \(O\). На одной прямой по разные стороны от \(O\) откладываем \(OA=OC=\frac{d_{1}}{2}\), на другой — \(OB=OD=\frac{d_{2}}{2}\). Соединяем точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) последовательно.

Доказательство: диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам (\(OA=OC\), \(OB=OD\)), значит, по признаку параллелограмма \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Если в упражнении даны стороны — переписывай вариант 1, если диагонали — вариант 2.

Да, всё верно: если чертёж не требуют, переписывай только текст — «Дано», «Построить», описание построения, доказательство и ответ. Этого достаточно, чтобы решение было полным.

Одно уточнение: в задачах на построение учителя обычно просят ещё и рисунок. Если он всё-таки нужен, сделай простой чертёж по шагам из описания — сам текст решения при этом не меняется.

Сам файл-картинку я создать не могу, но могу дать схему, по которой ты легко начертишь рисунок сам.

Вариант 1. По двум сторонам и углу

        D ———————— C
       /  α      /
      /         /
     A ———————— B

Порядок обхода: \(A \to B \to C \to D\). Угол \(\alpha\) — при вершине \(A\), между \(AB\) и \(AD\).

Как расположить точки (если чертить по клеткам): \(A\) — внизу слева, \(B\) — справа от \(A\) на расстоянии \(a\), \(D\) — выше \(A\) под углом \(\alpha\) на расстоянии \(b\), \(C\) — «достроенная» вершина: сдвигаем \(B\) на тот же вектор, что и от \(A\) к \(D\).

Вариант 2. По диагоналям и углу

     B —————————— C
      \  α     /
       \  \   /
        \   O
         \ / \
          X   \
         / \   \
        A —————————— D

Точнее так: \(O\) — центр, \(AC\) и \(BD\) — диагонали, они пересекаются в \(O\) под углом \(\alpha\); \(OA=OC\), \(OB=OD\).

Обход вершин: \(A\) — внизу слева, \(B\) — вверху слева, \(C\) — вверху справа, \(D\) — внизу справа.

Если нужны точные координаты

Вариант 1: \[ A(0;0),\quad B(a;0),\quad D(b\cos\alpha;\; b\sin\alpha),\quad C(a+b\cos\alpha;\; b\sin\alpha). \]

Вариант 2 (центр \(O\) в начале координат, диагональ \(AC\) — по горизонтали): \[ A\!\left(-\frac{d_1}{2};0\right),\quad C\!\left(\frac{d_1}{2};0\right), \] \[ B\!\left(-\frac{d_2}{2}\cos\alpha;\;-\frac{d_2}{2}\sin\alpha\right),\quad D\!\left(\frac{d_2}{2}\cos\alpha;\;\frac{d_2}{2}\sin\alpha\right). \]

Черти по этим точкам и подписывай вершины — рисунок получится точным.

Ответ (пиши в тетрадь одной строкой):

Вариант 1: Построен параллелограмм \(ABCD\), в котором \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\) — по двум сторонам и углу между ними. Четырёхугольник является параллелограммом, так как \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\).

Вариант 2: Построен параллелограмм \(ABCD\), в котором \(AC=d_{1}\), \(BD=d_{2}\), угол между диагоналями равен \(\alpha\). Четырёхугольник является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения \(O\) делятся пополам: \(OA=OC\), \(OB=OD\).

Коротко, если нужно совсем сжато: \[ ABCD \text{ — параллелограмм с заданными сторонами (диагоналями) и углом } \alpha. \]

Нужно — одного ответа недостаточно. В задачах на построение оценивают именно ход решения, поэтому в тетрадь идёт всё:

1. Дано и Построить.
2. Построение — по шагам (что откладываем, какие прямые проводим).
3. Доказательство — почему получился параллелограмм (параллельность сторон или диагонали делятся пополам).
4. Ответ — одна строка: «\(ABCD\) — искомый параллелограмм».

Так что переписывай полный вариант, а последняя строка с ответом — просто завершение, а не замена решения.

Начало правильное, но решение неполное — за такую запись обычно снижают оценку.

Что уже верно

• Данные выписаны (отрезки \(a\), \(b\), угол).
• Рисунок есть, вершины подписаны по порядку \(A \to B \to C \to D\).
• Итоговая строка ответа сформулирована правильно.

Чего не хватает

1. Нет раздела «Построить». Строки \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\) — это не «дано», а то, что требуется построить. В «Дано» должны быть только отрезки и угол.
2. Нет хода построения (по шагам).
3. Нет доказательства, что построенный четырёхугольник действительно параллелограмм с нужными данными.

Как дописать (продолжение твоей записи)

Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Построение:

1. Откладываем отрезок \(AB=a\).
2. От луча \(AB\) откладываем угол \(\alpha\); на его второй стороне откладываем \(AD=b\).
3. Через точку \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\), через точку \(D\) — прямую, параллельную \(AB\). Точку их пересечения обозначаем \(C\).
4. Соединяем \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство: по построению \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Ответ: \(ABCD\) — искомый параллелограмм.

Два замечания по оформлению

• Угол лучше обозначать \(\alpha\), а не \(a\): иначе он путается с отрезком \(a\). Тогда в «Дано» пиши: отрезки \(a\), \(b\) и угол \(\alpha\).
• На чертеже отметь угол \(\alpha\) при вершине \(A\) дугой и покажи параллельность сторон (стрелочками \(AB\) и \(CD\), \(AD\) и \(BC\)) — так видно, что это параллелограмм.

Если в учебнике в № 23 речь о построении по диагоналям, то «Дано» у тебя не то — тогда нужен второй вариант, скажи, и я поправлю.