Реши 23 упр с решением как в школе

Привет! Кратко по №23: это две задачи на построение циркулем и линейкой. В первом случае строим угол и две стороны, а затем достраиваем параллельные прямые. Во втором — строим две пересекающиеся прямые под данным углом и откладываем от точки пересечения половины диагоналей.

1) По двум сторонам и углу

Дано: отрезки \(a\), \(b\) и угол \(\alpha\) — угол между смежными сторонами.
Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\).

Идея. Две смежные стороны и угол между ними задают треугольник \(ABD\). Четвёртая вершина получается проведением двух параллельных прямых.

Построение.

1. Строим угол \(\alpha\) с вершиной \(A\).
2. На одной стороне угла откладываем \(AB=a\), на другой — \(AD=b\).
3. Через \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\); через \(D\) — прямую, параллельную \(AB\). Их пересечение обозначаем \(C\).
4. Соединяем \(B\) с \(C\) и \(D\) с \(C\).

Доказательство. По построению \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), значит, \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AB=a\), \(AD=b\), \(\angle BAD=\alpha\) — по построению.

Исследование. При \(a>0\), \(b>0\), \(0^\circ<\alpha<180^\circ\) построение возможно всегда.

2) По диагоналям и углу между ними

Дано: отрезки \(d_1\), \(d_2\) и угол \(\alpha\).
Построить: параллелограмм \(ABCD\), у которого \(AC=d_1\), \(BD=d_2\), угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Идея. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому от точки пересечения достаточно отложить половины диагоналей.

Построение.

1. Строим угол \(\alpha\) с вершиной \(O\).
2. На одной стороне угла откладываем \(OA=\frac{d_1}{2}\), на другой — \(OB=\frac{d_2}{2}\).
3. На продолжении луча \(OA\) за точку \(O\) откладываем \(OC=\frac{d_1}{2}\); на продолжении луча \(OB\) за точку \(O\) — \(OD=\frac{d_2}{2}\).
4. Соединяем последовательно точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

Доказательство. В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам: \[ AO=OC=\frac{d_1}{2},\qquad BO=OD=\frac{d_2}{2}. \] По признаку параллелограмма \(ABCD\) — параллелограмм. При этом \(AC=d_1\), \(BD=d_2\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\) по построению.

Исследование. При \(d_1>0\), \(d_2>0\), \(0^\circ<\alpha<180^\circ\) построение возможно всегда.

Проверка

В готовой фигуре измерь заданные стороны или диагонали и угол. В первом случае противоположные стороны должны быть равны и параллельны. Во втором — диагонали должны пересекаться и делиться точкой пересечения пополам.