Ответы
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
Часть А (Числа и вычисления)
- Сравните числа: \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{10}\).
- Округлите число 5,1873 до сотых и найдите абсолютную погрешность приближения.
- Оцените значение выражения \(x + y\), если известно, что \(4 < x < 5\) и \(2 < y < 3\).
Часть В (Уравнения) 4. Решите уравнение (сводится к линейному): \((x - 2)^2 = (x + 3)^2\) 5. Решите биквадратное уравнение: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) 6. Решите уравнение методом разложения на множители (3-й степени): \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0\) 7. Решите дробно-рациональное уравнение: \[\frac{x-2}{3} - \frac{4}{x+1} = \frac{5}{x^2-2x}\]
Часть С (Текстовые задачи и системы) 8. Решите задачу алгебраическим методом. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 9. Решите систему уравнений: \[\begin{cases} x + y = 5\\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}\]
Вот ответы по варианту 1. Я проверил каждый пункт.
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(2\sqrt{3}>\sqrt{10}\) |
| 2 | \(5{,}19\); абсолютная погрешность \(0{,}0027\) |
| 3 | \(6<x+y<8\) |
| 4 | \(x=-0{,}5\) |
| 5 | \(x=\pm1,\ \pm2\) |
| 6 | \(x=-3,\ 2,\ 3\) |
| 7 | \(x=-3,\ 5\) |
| 8 | \(8\) км/ч |
| 9 | \((4;\ 1)\) |
Как решать
Сравнение корней. Внесём множитель под корень: \[ 2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}. \] Так как \(12>10\), то \(2\sqrt{3}>\sqrt{10}\).
Округление и погрешность. Тысячные — цифра 7, поэтому \(5{,}1873\approx5{,}19\). Абсолютная погрешность: \[ |5{,}1873-5{,}19|=0{,}0027. \]
Оценка суммы. Неравенства с одинаковым знаком можно складывать: \[ 4+2<x+y<5+3, \] то есть \(6<x+y<8\).
Равенство квадратов. Раскроем скобки: \[ x^2-4x+4=x^2+6x+9. \] Квадраты сокращаются, остаётся линейное уравнение: \[ -10x=5,\qquad x=-0{,}5. \]
Биквадратное уравнение. Замена \(t=x^2\), \(t\ge0\): \[ t^2-5t+4=0. \] Корни \(t=1\) и \(t=4\). Возвращаемся: \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
Разложение на множители. Группируем: \[ x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9). \] Далее: \[ (x-2)(x-3)(x+3)=0, \] откуда \(x=2,\ 3,\ -3\).
Дробно-рациональное уравнение. \[ \frac{x-2}{3}-\frac{4}{x+1}=\frac{5}{x^2-2x}. \] Так как \(x^2-2x=x(x-2)\), запрещены \(x=-1,\ 0,\ 2\). После умножения на \(3x(x-2)(x+1)\): \[ x(x-2)^2(x+1)-12x(x-2)=15(x+1). \] После упрощения: \[ (x-5)(x+3)(x^2-x+1)=0. \] У \(x^2-x+1\) дискриминант \(D=1-4=-3<0\), поэтому действительных корней нет. Остаются \(x=5\) и \(x=-3\); оба допустимы.
Задача на движение. Пусть \(v\) — собственная скорость лодки, \(v>2\). Тогда: \[ \frac{30}{v+2}+\frac{30}{v-2}=8. \] После умножения на \((v-2)(v+2)\): \[ 8v^2-60v-32=0, \] или \[ 2v^2-15v-8=0. \] Дискриминант: \[ D=225+64=289=17^2. \] Тогда \[ v=\frac{15\pm17}{4}. \] Подходит \(v=8\) км/ч. Проверка: \(\frac{30}{10}+\frac{30}{6}=3+5=8\) ч.
Система уравнений. Используем разность квадратов: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=15. \] Так как \(x+y=5\), получаем: \[ 5(x-y)=15 \Rightarrow x-y=3. \] Вместе с \(x+y=5\): \[ x=4,\qquad y=1. \]
