1. Разность оснований трапеции равна 2 см, а средняя линия 90 см. Найдите основания трапеции.

Кратко: 1) \(91\) см и \(89\) см; 2) \(49{,}5\) см; 3) \(43\) см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ m=\frac{a+b}{2}. \]

1. Основания трапеции

Пусть \(a>b\). Тогда \[ a-b=2,\qquad \frac{a+b}{2}=90. \] Отсюда \(a+b=180\). Складываем: \[ 2a=182,\quad a=91,\quad b=89. \]

Ответ: \(91\) см и \(89\) см.

2. Трапеция \(DHRC\)

Основания — \(HR\) и \(DC\). Так как \(\angle D=90^\circ\), а \(RK\) — высота, то \(DHRK\) — прямоугольник. Поэтому \[ HR=DK=39\text{ см}. \] Тогда \[ DC=DK+KC=39+21=60\text{ см}. \] Средняя линия: \[ m=\frac{39+60}{2}=49{,}5\text{ см}. \]

Ответ: \(49{,}5\) см, или \(49\) см \(5\) мм.

3. Трапеция \(HZDX\)

Так как \(HZ=DX=46\) см, трапеция равнобедренная. Проекция боковой стороны на большее основание: \[ 46\cos60^\circ=46\cdot\frac12=23\text{ см}. \] Меньшее основание: \[ ZD=66-2\cdot23=20\text{ см}. \] Средняя линия: \[ m=\frac{66+20}{2}=43\text{ см}. \]

Ответ: \(43\) см.

Проверка: \((91+89):2=90\), \((39+60):2=49{,}5\), \((66+20):2=43\).