Краткие решение
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1 Часть A (Числа и вычисления)
- Сравните числа \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{10}\).
- Округлите число 5,1873 до сотых и найдите абсолютную погрешность приближения.
- Оцените значение выражения \(x + y\), если известно, что \(4 < x < 5\) и \(2 < y < 3\).
Часть B (Уравнения) 4. Решите уравнение (сводится к линейному): \((x - 2)^2 = (x + 3)^2\) 5. Решите биквадратное уравнение: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) 6. Решите уравнение методом разложения на множители (3-й степени): \(x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0\) 7. Решите дробно-рациональное уравнение: \[\frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+1} = \frac{5}{x^2 - x - 2}\]
Часть C (Текстовые задачи и системы) 8. Решите задачу алгебраическим методом: Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 9. Решите систему уравнений: \[\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - y^2 = 15 \end{cases}\]
Кратко по всем заданиям варианта 1:
1. Оба числа положительны, поэтому сравниваем их квадраты: \[ (2\sqrt3)^2=12,\qquad (\sqrt{10})^2=10. \] Значит, \(2\sqrt3>\sqrt{10}\).
2. До сотых: \(5{,}1873\approx 5{,}19\).
Абсолютная погрешность:
\[
|5{,}1873-5{,}19|=0{,}0027.
\]
3. Складываем неравенства: \[ 4+2<x+y<5+3, \] поэтому \[ 6<x+y<8. \]
4. \[ (x-2)^2=(x+3)^2 \] \[ (x-2)^2-(x+3)^2=0. \] По формуле разности квадратов: \[ ((x-2)-(x+3))((x-2)+(x+3))=0, \] \[ -5(2x+1)=0,\qquad x=-\frac12. \]
5. Пусть \(t=x^2\), \(t\ge 0\): \[ t^2-5t+4=0, \] \[ t=1 \quad \text{или}\quad t=4. \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1, \] \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \] Ответ: \(-2;-1;1;2\).
6. Группируем: \[ x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9). \] \[ (x-2)(x-3)(x+3)=0. \] Ответ: \(-3;2;3\).
7. ОДЗ: \[ x\ne 2,\qquad x\ne -1. \] Так как \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), умножаем обе части на этот знаменатель: \[ 3(x+1)-4(x-2)=5. \] \[ 3x+3-4x+8=5, \] \[ -x+11=5, \] \[ x=6. \] Корень входит в ОДЗ. Ответ: \(6\).
8. Пусть собственная скорость лодки \(v\) км/ч, \(v>2\). Тогда \[ \frac{30}{v+2}+\frac{30}{v-2}=8. \] После преобразований: \[ 2v^2-15v-8=0, \] \[ v=\frac{15\pm17}{4}. \] Получаем \(v=8\) или \(v=-0{,}5\). Скорость положительна, поэтому \[ v=8\text{ км/ч}. \]
Проверка: \[ \frac{30}{10}+\frac{30}{6}=3+5=8. \]
9.
\[
x^2-y^2=(x-y)(x+y)=15.
\]
Из первого уравнения \(x+y=5\), поэтому
\[
(x-y)\cdot5=15,
\]
\[
x-y=3.
\]
Получаем систему:
\[
x+y=5,\qquad x-y=3.
\]
Отсюда \(x=4\), \(y=1\).
Ответ: \((4;1)\).
