Реши уравнение 2). К теореме об отрезках задать длины так, чтобы отрезки были пропорциональны с коофициентом одна пятая

По дневнику пункт 2) — это не уравнение, а задание: «к теореме об отрезках задать длины так, чтобы отрезки были пропорциональны с коэффициентом \(1/5\)». Значит, нужно подобрать числа так, чтобы отношение отрезков равнялось \(1:5\). Беру треугольник и выполняю это.

Ответ

В треугольнике \(ABC\) проведём \(MN \parallel AC\), где \(M \in AB\), \(N \in BC\). Зададим:

\[ AM=2,\quad MB=10,\quad BN=3,\quad NC=15. \]

Тогда

\[ \frac{AM}{MB}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},\qquad \frac{BN}{NC}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}. \]

То есть \(AM:MB=BN:NC=1:5\) — отрезки пропорциональны с коэффициентом одна пятая.

Почему это верно

1. По теореме о пропорциональных отрезках прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от них пропорциональные отрезки: \(AM:MB=BN:NC\).
2. Я задал длины так, чтобы оба отношения были равны \(1/5\), поэтому равенство из теоремы выполняется.
3. Проверка «в одну сторону»: сторона \(AB=2+10=12\), \(BC=3+15=18\), и \(MN\) составляет \(\frac{BM}{BA}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\) от \(AC\) — числа целые и согласованы.

Как подбирать самому: выбери меньшее число, например \(1\), и большее в 5 раз — \(5\); на второй стороне возьми другую пару с тем же отношением, например \(2\) и \(10\). Главное — чтобы оба отношения совпадали.

Если нужно, так же подберу длины для пункта 3) — про биссектрису угла треугольника.

Вот чертёж. Сначала исправлю опечатку прошлого ответа: правильно должно быть

\[ \frac{AM}{MB}=\frac{CN}{NB}. \]

Поэтому при \(AM=2,\ MB=10\) берём \(CN=3,\ NB=15\) (то есть \(BN=15\), а не \(3\)).

            C
           / \
          /   \
         /     N
        /     / \
       /     /   \
      /     /     \
     /     /       \
    A--M-----------B

На чертеже:

• \(M\in AB\), \(AM=2\), \(MB=10\);
• \(N\in BC\), \(CN=3\), \(NB=15\);
• проведена \(MN\), причём \(MN\parallel AC\).

Проверка:

\[ \frac{AM}{MB}=\frac{2}{10}=\frac15,\qquad \frac{CN}{NB}=\frac{3}{15}=\frac15. \]

Значит, отрезки пропорциональны с коэффициентом \(\frac15\). При этом \(AB=12\), \(BC=18\), и

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac16, \]

поэтому \(MN\parallel AC\).

Если для тетради удобнее мельче, можно взять \(AM=1,\ MB=5,\ CN=1,\ NB=5\) — коэффициент останется \(\frac15\).

Чертёж ниже схематичный, но все пропорции из условия на нём соблюдены: \(M\) стоит на \(\frac16\) пути от \(A\) к \(B\), \(N\) — на \(\frac16\) пути от \(C\) к \(B\).

C
|  \
|    N
|    |  \
|    |    \
|    |      \
|    |         \
|    |           \
|    |              \
|    |                \
|    |                   \
|    |                     \
A----M------------------------B

Что отмечено на чертеже:

• \(A\), \(B\), \(C\) — вершины треугольника;
• \(M \in AB\), причём \(AM=2\), \(MB=10\);
• \(N \in BC\), причём \(CN=3\), \(NB=15\);
• отрезок \(MN\) параллелен стороне \(AC\) (на рисунке обе линии вертикальны).

Как построить это в тетради (масштаб 1 см = 2 единицы):

1. Проведи \(AB=6\) см, отложи \(AM=1\) см — получишь точку \(M\).
2. Из точки \(B\) проведи \(BC=9\) см под углом.
3. На \(BC\) отложи от \(C\) отрезок \(CN=1{,}5\) см — получишь точку \(N\).
4. Соедини \(M\) и \(N\), проведи \(AC\). Линии \(MN\) и \(AC\) должны получиться параллельными — это и есть проверка чертежа.

Проверка по чертежу:

\[ \frac{AM}{MB}=\frac{2}{10}=\frac15,\qquad \frac{CN}{NB}=\frac{3}{15}=\frac15, \]

значит, \(AM:MB=CN:NB=1:5\), и по теореме о пропорциональных отрезках \(MN \parallel AC\).

Если хочешь, могу так же нарисовать схему для пункта 3) — про биссектрису.

Вот решение и чертёж к теореме о пропорциональных отрезках.

Пусть две непараллельные прямые \(a\) и \(b\) пересечены четырьмя параллельными прямыми \(l,m,n,p\). Точки на \(a\): \(A_1,A_2,A_3,A_4\); на \(b\): \(B_1,B_2,B_3,B_4\).

Зададим длины

\[ A_1A_2=1,\qquad A_2A_3=2,\qquad A_3A_4=3; \]

\[ B_1B_2=5,\qquad B_2B_3=10,\qquad B_3B_4=15. \]

Проверка

\[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{1}{5},\qquad \frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}, \]

\[ \frac{A_3A_4}{B_3B_4}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}. \]

Значит, соответствующие отрезки пропорциональны с коэффициентом

\[ k=\frac{1}{5}. \]

То есть каждый отрезок на прямой \(a\) в 5 раз меньше соответствующего отрезка на прямой \(b\).

Кроме того,

\[ A_1A_2:A_2A_3:A_3A_4=1:2:3, \]

\[ B_1B_2:B_2B_3:B_3B_4=5:10:15=1:2:3. \]

Поэтому теорема о пропорциональных отрезках выполняется.

Чертёж

                 O
                / \
           a   /   \   b
              /     \
             A1-----B1        l
            /         \
           A2---------B2      m
          /             \
         A3---------------B3  n
        /                   \
       A4---------------------B4  p

Здесь \(l=A_1B_1\), \(m=A_2B_2\), \(n=A_3B_3\), \(p=A_4B_4\), причём

\[ l\parallel m\parallel n\parallel p. \]

Чертёж схематичный, не обязательно в масштабе.

Как построить точно

1. Нарисуй угол с вершиной \(O\).
2. На одной стороне отложи точки \(A_1,A_2,A_3,A_4\) так, чтобы
   \[ OA_1=1,\quad OA_2=2,\quad OA_3=4,\quad OA_4=7. \] Тогда \(A_1A_2=1,\ A_2A_3=2,\ A_3A_4=3\).
3. На другой стороне отложи \(B_1,B_2,B_3,B_4\) так, чтобы
   \[ OB_i=5\cdot OA_i. \] Получится \(OB_1=5,\ OB_2=10,\ OB_3=20,\ OB_4=35\), значит
   \[ B_1B_2=5,\quad B_2B_3=10,\quad B_3B_4=15. \]
4. Соедини \(A_1\) с \(B_1\), \(A_2\) с \(B_2\), \(A_3\) с \(B_3\), \(A_4\) с \(B_4\). Эти прямые будут параллельны.

Если нужно, чтобы наоборот отрезки на \(b\) были в 5 раз меньше отрезков на \(a\), просто поменяй местами прямые \(a\) и \(b\).

Ответ. Берём такие длины:

\[ A_1A_2=1,\quad A_2A_3=2,\quad A_3A_4=3; \]

\[ B_1B_2=5,\quad B_2B_3=10,\quad B_3B_4=15. \]

Тогда

\[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{1}{5},\qquad \frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}, \]

\[ \frac{A_3A_4}{B_3B_4}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}. \]

Значит, отрезки пропорциональны с коэффициентом

\[ k=\frac{1}{5}. \]

Решение по теореме

По теореме о пропорциональных отрезках, если прямые \(c,m,t,p\) параллельны, то

\[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3}, \qquad \frac{A_2A_3}{A_3A_4}=\frac{B_2B_3}{B_3B_4}. \]

Проверяем:

\[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{B_1B_2}{B_2B_3}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}; \]

\[ \frac{A_2A_3}{A_3A_4}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{B_2B_3}{B_3B_4}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}. \]

Все равенства выполняются.

Чертёж

Схема — как на фото: две прямые \(a\) и \(b\), четыре параллельные прямые \(c,m,t,p\).

        a                                     b
        A₁────────────────────────────────────B₁   c
         ╲                                  ╱
          ╲                                ╱
           A₂────────────────────────────B₂        m
            ╲                          ╱
             ╲                        ╱
              A₃────────────────────B₃             t
               ╲                  ╱
                ╲                ╱
                 A₄────────────B₄                  p

Подпиши на чертеже длины:

A₁A₂ = 1      B₁B₂ = 5
A₂A₃ = 2      B₂B₃ = 10
A₃A₄ = 3      B₃B₄ = 15

И отметь, что

\[ A_1A_2:B_1B_2=A_2A_3:B_2B_3=A_3A_4:B_3B_4=1:5. \]

Чертёж можно рисовать не в масштабе — главное, чтобы были подписаны длины и было показано \(c\parallel m\parallel t\parallel p\).

Вот чертёж к первому решению — треугольник \(ABC\), \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(MN\parallel AC\). Схематично, без точного масштаба:

                    B
                   / \
                  /   \
                 /     \
                /       \
               /         \
              /           \
             /             \
            /               \
           /                 \
          M-------------------N
         /                     \
        A-----------------------C

На чертеже:

• слева: \(BM=10\), \(MA=2\);
• справа: \(BN=15\), \(NC=3\);
• \(MN\parallel AC\).

Проверка:

\[ \frac{AM}{MB}=\frac{2}{10}=\frac15,\qquad \frac{CN}{NB}=\frac{3}{15}=\frac15. \]

Значит, отрезки на сторонах пропорциональны с коэффициентом \(\frac15\), поэтому \(MN\parallel AC\).

Как начертить точно: построй угол с вершиной \(B\); на одной стороне отложи \(BA=12\), а на ней \(BM=10\) (тогда \(AM=2\)); на другой стороне отложи \(BC=18\), а на ней \(BN=15\) (тогда \(NC=3\)). Соедини \(M\) с \(N\) и \(A\) с \(C\) — получишь \(MN\parallel AC\). В масштабе \(1\) см \(=2\) единицы: \(BA=6\) см, \(BM=5\) см, \(BC=9\) см, \(BN=7{,}5\) см.

На стороне \(b\) точки отмечают от вершины угла \(O\), и расстояния должны быть в 5 раз больше, чем на стороне \(a\). Иначе прямые \(A_iB_i\) не получатся параллельными.

Как отметить

Сначала на стороне \(a\) отложи от \(O\):

\[ OA_1=1,\quad OA_2=2,\quad OA_3=4,\quad OA_4=7. \]

Тогда \(A_1A_2=1,\ A_2A_3=2,\ A_3A_4=3\).

Теперь на стороне \(b\) откладывай от \(O\) числа, в 5 раз большие:

\[ OB_1=5,\quad OB_2=10,\quad OB_3=20,\quad OB_4=35. \]

Тогда разности дадут нужные отрезки:

\[ B_1B_2=10-5=5, \]

\[ B_2B_3=20-10=10, \]

\[ B_3B_4=35-20=15. \]

Схема

                 O
                / \
           a   /   \   b
              /     \
             A1     B1     (OA1=1,  OB1=5)
            /         \
           A2         B2   (OA2=2,  OB2=10)
          /             \
         A3             B3 (OA3=4,  OB3=20)
        /                 \
       A4                 B4 (OA4=7, OB4=35)

Соединяешь \(A_1\) с \(B_1\), \(A_2\) с \(B_2\), \(A_3\) с \(B_3\), \(A_4\) с \(B_4\) — эти прямые параллельны.

Почему так

Для каждой пары точек

\[ \frac{OA_i}{OB_i}=\frac{1}{5}, \]

а угол при \(O\) общий, значит треугольники \(OA_iB_i\) подобны с коэффициентом \(\frac15\). Поэтому соответствующие стороны \(A_iB_i\) параллельны.

Если 35 единиц много для тетради, возьми масштаб \(1\) см \(=5\) единиц: тогда \(OB_4=7\) см, \(OB_3=4\) см, \(OB_2=2\) см, \(OB_1=1\) см, а на стороне \(a\) — \(0{,}2;\ 0{,}4;\ 0{,}8;\ 1{,}4\) см. Проще наоборот: на \(a\) отложи \(5,10,20,35\), а на \(b\) — \(1,2,4,7\); тогда коэффициент будет \(5\), что то же самое, просто отрезки на \(b\) в 5 раз меньше.

«В 10 раз больше» — значит умножить на 10.

Примеры:

\[ 1\cdot 10=10,\qquad 2\cdot 10=20,\qquad 4\cdot 10=40,\qquad 7\cdot 10=70. \]

Если на стороне \(a\) от вершины \(O\) отложены расстояния

\[ OA_1=1,\quad OA_2=2,\quad OA_3=4,\quad OA_4=7, \]

то при увеличении в 10 раз на стороне \(b\) нужно отложить

\[ OB_1=10,\quad OB_2=20,\quad OB_3=40,\quad OB_4=70. \]

Тогда отрезки между точками на стороне \(b\) будут:

\[ B_1B_2=10,\qquad B_2B_3=20,\qquad B_3B_4=30. \]

Но в задании нужен коэффициент \(\frac15\), а не \(\frac{1}{10}\). Поэтому для него на стороне \(b\) берут не в 10, а в 5 раз больше:

\[ 5,\ 10,\ 20,\ 35. \]

Проще всего пересчитать в клетках (1 клетка = 0,5 см) и взять совсем маленькие числа — пропорция от этого не изменится. Коэффициент \(\frac15\) требует только равенства отношений, поэтому можно взять одинаковые отрезки:

\[ A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=1,\qquad B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=5. \]

Тогда от вершины \(O\):

\[ OA_1=1,\ OA_2=2,\ OA_3=3,\ OA_4=4; \]

\[ OB_1=5,\ OB_2=10,\ OB_3=15,\ OB_4=20. \]

Масштаб: 1 единица = 1 клетка

• на стороне \(a\): \(0{,}5;\ 1;\ 1{,}5;\ 2\) см;
• на стороне \(b\): \(2{,}5;\ 5;\ 7{,}5;\ 10\) см.

Так весь чертёж занимает примерно \(10\times5\) см — спокойно помещается на странице.

Как строить

1. Поставь \(O\) в левом верхнем углу листа.
2. Проведи луч \(a\) вниз, луч \(b\) — вправо-вниз под углом примерно \(45^\circ\).
3. На \(a\) отсчитай от \(O\) 1, 2, 3, 4 клетки — точки \(A_1,A_2,A_3,A_4\).
4. На \(b\) отсчитай 5, 10, 15, 20 клеток — точки \(B_1,B_2,B_3,B_4\).
5. Соедини \(A_1B_1\), \(A_2B_2\), \(A_3B_3\), \(A_4B_4\) — линии выйдут параллельными.

Схема (в скобках — число клеток от \(O\)):

O
 \  (a)                          (b)
  A1(1)                          B1(5)
   \                             /
    A2(2)                      B2(10)
      \                       /
       A3(3)                B3(15)
         \                 /
          A4(4)          B4(20)

Проверка

\[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{1}{5},\quad \frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{1}{5},\quad \frac{A_3A_4}{B_3B_4}=\frac{1}{5}. \]

Если хочешь оставить «красивые» растущие длины \(1,2,3\) и \(5,10,15\), бери масштаб 1 единица \(=0{,}3\) см: тогда \(OB_4=35\cdot0{,}3=10{,}5\) см, \(OA_4=7\cdot0{,}3=2{,}1\) см — тоже влезает, но размечать придётся по линейке.

Вот как должен выглядеть готовый чертёж. Удобнее всего чертить прямой угол: сторона \(a\) идёт вправо, сторона \(b\) — вниз.

O────A1────A2────A3────A4      a
│╲    ╲     ╲     ╲
│ ╲    ╲     ╲     ╲
│  ╲    ╲     ╲     ╲
B1  ╲    ╲     ╲     ╲
│    ╲    ╲     ╲     ╲
│     ╲    ╲     ╲     ╲
B2     ╲    ╲     ╲
│       ╲    ╲     ╲
│        ╲    ╲     ╲
B3        ╲    ╲
│          ╲    ╲
│           ╲    ╲
B4           ╲
│
b

Что подписать на чертеже

\[ OA_1=1,\quad OA_2=2,\quad OA_3=3,\quad OA_4=4; \]

\[ OB_1=5,\quad OB_2=10,\quad OB_3=15,\quad OB_4=20. \]

Тогда отрезки между соседними точками:

\[ A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=1, \]

\[ B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=5. \]

И

\[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{1}{5},\quad \frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{1}{5},\quad \frac{A_3A_4}{B_3B_4}=\frac{1}{5}. \]

Коэффициент пропорциональности равен \(\frac15\).

Как построить точно по клеткам

1. Поставь точку \(O\) в углу клетки.
2. Вправо отложи \(A_1,A_2,A_3,A_4\) на 1, 2, 3, 4 клетки.
3. Вниз отложи \(B_1,B_2,B_3,B_4\) на 5, 10, 15, 20 клеток.
4. Соедини \(A_1B_1,\ A_2B_2,\ A_3B_3,\ A_4B_4\).

Эти четыре линии получатся параллельными — проверь линейкой.

Важно

В решении выше были длины \(1,2,3\) и \(5,10,15\). Это тоже правильно:

\[ \frac{1}{5}=\frac{2}{10}=\frac{3}{15}. \]

Но для чертежа удобнее взять равные отрезки \(1\) и \(5\): так точки \(B\) не уходят слишком далеко вниз. Если оставляешь в решении \(1,2,3\), то на чертеже просто подпиши эти числа — принцип и параллельность не изменятся.

Да: диагональ клетки идёт под \(45^\circ\) к её сторонам. То есть, чтобы провести луч под \(45^\circ\), шагай по диагоналям клеток: 1 клетка вправо и 1 вниз — это и есть \(45^\circ\).

Но здесь есть ловушка.

В чём ошибка при счёте клеток «по диагонали»

Если по стороне \(a\) ты откладываешь 1 клетку, то это \(0{,}5\) см. А если по наклонному лучу \(b\) шагаешь по диагоналям клеток, то один такой шаг равен диагонали клетки, то есть \(0{,}5\sqrt{2}\approx0{,}71\) см. Единицы получаются разные, и отношение будет не \(1:5\), а \(1:5\sqrt{2}\). Пропорция сломается.

Как сделать правильно

Измеряй наклонный луч линейкой в тех же сантиметрах (1 клетка \(=0{,}5\) см).

По горизонтали \(a\):

\[ OA_1=0{,}5,\quad OA_2=1,\quad OA_3=1{,}5,\quad OA_4=2\text{ см}. \]

По наклонному лучу \(b\) под \(45^\circ\):

\[ OB_1=2{,}5,\quad OB_2=5,\quad OB_3=7{,}5,\quad OB_4=10\text{ см}. \]

Проверка:

\[ \frac{OA_1}{OB_1}=\frac{0{,}5}{2{,}5}=\frac15, \]

\[ \frac{OA_2}{OB_2}=\frac{1}{5}=\frac15,\quad \frac{OA_4}{OB_4}=\frac{2}{10}=\frac15. \]

Угол при \(O\) общий, значит треугольники \(OA_iB_i\) подобны с коэффициентом \(\frac15\), поэтому \(A_1B_1\parallel A_2B_2\parallel A_3B_3\parallel A_4B_4\).

Более простой вариант — угол \(90^\circ\)

Если не хочешь возиться с линейкой на наклонной, сделай стороны \(a\) и \(b\) вдоль клеток: \(a\) — вправо, \(b\) — вниз. Тогда считаешь клетки напрямую:

• на \(a\): \(1,2,3,4\) клетки;
• на \(b\): \(5,10,15,20\) клеток.

Крайняя точка \(B_4\) окажется на 10 см вниз — на страницу помещается. Пропорция \(\frac15\) при этом точная, и параллельность легко проверить линейкой.

Итог: \(45^\circ\) — это диагональ клетки, но длины на наклонном луче откладывай линейкой, а не шагами по диагоналям.