Вариант 2 1. В треугольнике ATO угол O равен 90°, AO = √3, AT = 2. Найдите sin A.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 1

1. В треугольнике ZXO угол O равен 90°, $ZO = 3$, $ZX = 5$. Найдите $\sin Z$.

2. В треугольнике AXO угол O равен 90°, $AO = \sqrt{3}$, $AX = 2$. Найдите $\cos X$.

3. Сторона равностороннего треугольника равна $26\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

5. В треугольнике ZOH биссектриса угла Z делит высоту, проведённую из вершины O в отношении 17:15, считая от точки O. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ZOH, если $OH = 76$.

Вариант 2

1. В треугольнике ATO угол O равен 90°, $AO = \sqrt{3}$, $AT = 2$. Найдите $\sin A$.

2. В треугольнике ORE угол E равен 90°, $RE = 4$, $OR = 5$. Найдите $\cos O$.

3. Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 48 и 64. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

5. В треугольнике RBZ биссектриса угла R делит высоту, проведённую из вершины B в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника RBZ, если $BZ = 84$.

Answer

На фото два варианта — даю решения для обоих.

Ответы

Вариант 1: 1) $\frac45$; 2) $\frac12$; 3) $26$; 4) $9{,}6$; 5) $80{,}75$.

Вариант 2: 1) $\frac12$; 2) $\frac35$; 3) $12$; 4) $38{,}4$; 5) $89{,}25$.

1–2. Прямоугольный треугольник

Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Недостающий катет находим по теореме Пифагора.

В1, №1: $XO=\sqrt{5^2-3^2}=4$, поэтому $\sin Z=\frac{XO}{ZX}=\frac45$.

В1, №2: $XO=\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}=1$, поэтому $\cos X=\frac{XO}{AX}=\frac12$.

В2, №1: $OT=\sqrt{2^2-(\sqrt3)^2}=1$, поэтому $\sin A=\frac{OT}{AT}=\frac12$.

В2, №2: $OE=\sqrt{5^2-4^2}=3$, поэтому $\cos O=\frac{OE}{OR}=\frac35$.

3. Окружность около равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной $a$:
$$
R_{\text{оп}}=\frac{a}{\sqrt3}.
$$

В1: $R_{\text{оп}}=\frac{26\sqrt3}{\sqrt3}=26$.

В2: $R_{\text{оп}}=\frac{12\sqrt3}{\sqrt3}=12$.

4. Высота к гипотенузе

Если катеты $a,b$, гипотенуза $c$, то
$$
c=\sqrt{a^2+b^2},\qquad h=\frac{ab}{c}.
$$
Высота находится из равенства площадей: $\frac12ab=\frac12ch$.

В1: $c=\sqrt{12^2+16^2}=20$, $h=\frac{12\cdot16}{20}=9{,}6$.

В2: $c=\sqrt{48^2+64^2}=80$, $h=\frac{48\cdot64}{80}=38{,}4$.

5. Биссектриса и высота

В обоих вариантах схема одинаковая. Пусть угол при вершине $A$ равен $\alpha$, $BH$ — высота, биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $D$. В прямоугольном $\triangle ABH$:
$$
\frac{BD}{DH}=\frac{AB}{AH}.
$$
Но $AH=AB\cos\alpha$, значит
$$
\frac{BD}{DH}=\frac1{\cos\alpha}.
$$
По условию $BD:DH=17:15$, поэтому
$$
\frac1{\cos\alpha}=\frac{17}{15}
\quad\Rightarrow\quad
\cos\alpha=\frac{15}{17}.
$$
Тогда
$$
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\frac8{17}.
$$
Радиус описанной окружности:
$$
R_{\text{оп}}=\frac{a}{2\sin\alpha},
$$
где $a$ — сторона, противолежащая углу $\alpha$.

В1: $a=OH=76$, поэтому
$$
R_{\text{оп}}=\frac{76}{2\cdot\frac8{17}}=\frac{323}{4}=80{,}75.
$$

В2: $a=BZ=84$, поэтому
$$
R_{\text{оп}}=\frac{84}{2\cdot\frac8{17}}=\frac{357}{4}=89{,}25.
$$

Проверка: в №5 $2R_{\text{оп}}\sin\alpha$ действительно даёт $76$ и $84$ соответственно.