Контрольная работа №2. 1 вариант. 1. Найти значение выражения: 6x − 8y, при x = 5/6, y = 7/8.

Краткие ответы

1. \(-2\)
2. а) \(-9x+7y\); б) \(12x+3\); в) \(15x+7\)
3. а) \(y=45\); б) \(y=1{,}8\); в) \(y=3\); г) \(y=4\)
4. \(210\) кустов (на одной \(35\), на другой \(175\))
5. \(y\) — любое число (уравнение-тождество)

1. Значение выражения \(6x-8y\) при \(x=\frac{5}{6},\ y=\frac{7}{8}\)

Принцип: подставляем числа и сразу сокращаем дроби с коэффициентами — так удобнее, чем считать «в лоб».

\[ 6\cdot\frac{5}{6}-8\cdot\frac{7}{8}=5-7=-2 \]

Проверка: \(6\cdot\frac{5}{6}=5\), \(8\cdot\frac{7}{8}=7\) — оба произведения целые, значит ошибки в счёте маловероятны.

2. Упрощение выражений

Принцип: приводим подобные слагаемые; при раскрытии скобок знак «минус» перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри.

а) \(3x-2y-12x+9y=(3x-12x)+(-2y+9y)=-9x+7y\)

б) \(6(2x+1)-3=12x+6-3=12x+3\)

в) \(14x-(x-1)+(2x+6)=14x-x+1+2x+6=15x+7\)

3. Уравнения

Принцип: слагаемые с \(y\) переносим в одну сторону, числа — в другую, меняя знак; затем делим на коэффициент при \(y\).

а) \(\frac{1}{3}y=15 \Rightarrow y=15\cdot 3=45\)

б) \(7y-12{,}6=0 \Rightarrow 7y=12{,}6 \Rightarrow y=1{,}8\)

в) \(6y-0{,}7=3y+8{,}3 \Rightarrow 6y-3y=8{,}3+0{,}7 \Rightarrow 3y=9 \Rightarrow y=3\)

г) \(3y-(7y-7)=-9 \Rightarrow 3y-7y+7=-9 \Rightarrow -4y=-16 \Rightarrow y=4\)

Проверка г): \(3\cdot 4-(7\cdot 4-7)=12-21=-9\). Верно.

4. Задача про пионы

Пусть \(x\) кустов — на второй клумбе, тогда \(5x\) — на первой.

После пересадки: \[ 5x-50=x+90 \] \[ 5x-x=90+50 \Rightarrow 4x=140 \Rightarrow x=35 \]

Значит, на второй клумбе было \(35\) кустов, на первой \(5\cdot 35=175\), всего \(35+175=210\) кустов.

Проверка: \(175-50=125\) и \(35+90=125\) — стало поровну. ✔

5. Уравнение \(7y-(y+3)=3(2y-1)\)

\[ 7y-y-3=6y-3 \] \[ 6y-3=6y-3 \]

Получилось верное равенство, в котором \(y\) сократился. Это значит, что уравнение выполняется при любом \(y\): \(y\in\mathbb{R}\) (бесконечно много решений).

Важно не спутать: если бы вышло, например, \(0=5\), решений не было бы вовсе. А здесь \(0=0\) — тождество. Проверка: при \(y=0\): \(-3=-3\); при \(y=10\): \(70-13=57\) и \(3\cdot 19=57\). ✔