Решить

Кратко: \[ x=-\frac{3}{4},\qquad y=-\frac{17}{4}. \]

Решаем систему \[ \begin{cases} 16x-4y=5,\\ 3x-y=2. \end{cases} \]

По правилу Крамера сначала находим главный определитель: \[ \Delta= \begin{vmatrix} 16&-4\\ 3&-1 \end{vmatrix} =16\cdot(-1)-(-4)\cdot3=-16+12=-4. \] Так как \(\Delta\ne0\), решение единственное.

Теперь заменяем столбец коэффициентов при \(x\) на свободные члены: \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 5&-4\\ 2&-1 \end{vmatrix} =5\cdot(-1)-(-4)\cdot2=-5+8=3. \]

Заменяем столбец коэффициентов при \(y\): \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 16&5\\ 3&2 \end{vmatrix} =16\cdot2-5\cdot3=32-15=17. \]

По формулам Крамера: \[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{3}{-4}=-\frac34, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{17}{-4}=-\frac{17}{4}. \]

Проверка по второму уравнению: \[ 3\left(-\frac34\right)-\left(-\frac{17}{4}\right) =-\frac94+\frac{17}{4}=\frac84=2. \] Всё сходится.

Главная идея: определитель второго порядка считается «крест-накрест» как \(ad-bc\). В \(\Delta_x\) на место первого столбца ставятся свободные члены, а в \(\Delta_y\) — на место второго.