а) 39x³y/(26xy²) б) 5y/(y²-2y) в) (3a-3b)/(a²-b²)

Краткий ответ

\[ \text{а) }\frac{39x^{3}y}{26xy^{2}}=\frac{3x^{2}}{2y},\qquad \text{б) }\frac{5y}{y^{2}-2y}=\frac{5}{y-2},\qquad \text{в) }\frac{3a-3b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{3}{a+b}. \]

Ограничения (ОДЗ): в а) \(x\neq 0,\ y\neq 0\); в б) \(y\neq 0,\ y\neq 2\); в в) \(a\neq b,\ a\neq -b\).

Как это устроено: принцип сокращения

Алгебраическая дробь сокращается так же, как обыкновенная: числитель и знаменатель раскладываем на множители и убираем общие. Сокращать можно только множители, но не слагаемые — поэтому многочлены сначала раскладывают на множители.

а) \(\dfrac{39x^{3}y}{26xy^{2}}\)

Раскладываем числа и степени: \[ 39=3\cdot 13,\quad 26=2\cdot 13,\quad x^{3}=x\cdot x^{2},\quad y^{2}=y\cdot y . \] Сокращаем общие множители \(13,\ x,\ y\): \[ \frac{39x^{3}y}{26xy^{2}}=\frac{3\cdot 13\cdot x\cdot x^{2}\cdot y}{2\cdot 13\cdot x\cdot y\cdot y}=\frac{3x^{2}}{2y}. \]

б) \(\dfrac{5y}{y^{2}-2y}\)

В знаменателе общий множитель \(y\), выносим его: \[ \frac{5y}{y(y-2)}=\frac{5}{y-2}. \] Важно: \(y\neq 0\), иначе знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

в) \(\dfrac{3a-3b}{a^{2}-b^{2}}\)

Числитель — вынесение общего множителя, знаменатель — формула разности квадратов: \[ 3a-3b=3(a-b),\qquad a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \] Тогда \[ \frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{3}{a+b}. \] Здесь \(a\neq b\) (на это делим) и \(a\neq -b\) (обнуляет знаменатель).

Проверка подстановкой

• а) при \(x=2,\ y=3\): слева \(\frac{39\cdot 8\cdot 3}{26\cdot 2\cdot 9}=\frac{936}{468}=2\), справа \(\frac{3\cdot 4}{2\cdot 3}=2\). Совпало.
• б) при \(y=5\): слева \(\frac{25}{25-10}=\frac{5}{3}\), справа \(\frac{5}{5-2}=\frac{5}{3}\). Совпало.
• в) при \(a=4,\ b=1\): слева \(\frac{12-3}{16-1}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\), справа \(\frac{3}{5}\). Совпало.

Алгоритм для похожих заданий: 1) разложить числитель и знаменатель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения); 2) вычеркнуть одинаковые множители; 3) записать результат и ОДЗ из исходного знаменателя.