Найдите координаты и длину вектора a, если a = 1/3 b − c, b{3; −9}, c{−6; 2}.

Краткие ответы

1. \(\vec{a}\{7;\,-5\}\), \(\;|\vec{a}|=\sqrt{74}\).
2. \(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\), \(\;\vec{BP}=\frac{1}{2}\vec{x}+\vec{y}\), \(\;\vec{PA}=\frac{1}{2}\vec{x}-\vec{y}\).
3. \(3x+2y-4=0\) (или \(y=-\frac{3}{2}x+2\)).
4. \(XY=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\); середина \((6;\,4)\).
5. \((x-4)^2+(y+3)^2=185\).

Разбор по шагам

№ 1. Умножение вектора на число и вычитание векторов делаются покоординатно, поэтому сначала считаем каждую координату отдельно, а длину — только в конце.

\[ \tfrac{1}{3}\vec{b}=\left\{\tfrac{3}{3};\,\tfrac{-9}{3}\right\}=\{1;\,-3\} \] \[ \vec{a}=\{1-(-6);\;-3-2\}=\{7;\,-5\} \] \[ |\vec{a}|=\sqrt{7^2+(-5)^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74} \]

№ 2. Работает одно правило: любой вектор ломаной заменяем суммой, а в квадрате противоположные стороны задают равные сонаправленные векторы: \(\vec{CD}=\vec{BA}=\vec{x}\), \(\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{y}\).

• \(P\) — середина \(CD\), значит \(\vec{CP}=\frac{1}{2}\vec{CD}=\frac{1}{2}\vec{x}\).
• \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому \[ \vec{BO}=\tfrac{1}{2}\vec{BD}=\tfrac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{AD})=\tfrac{1}{2}\vec{x}+\tfrac{1}{2}\vec{y} \]
• \(\vec{BP}=\vec{BC}+\vec{CP}=\vec{y}+\frac{1}{2}\vec{x}\).
• \(\vec{PA}=\vec{BA}-\vec{BP}=\vec{x}-\left(\frac{1}{2}\vec{x}+\vec{y}\right)=\frac{1}{2}\vec{x}-\vec{y}\).

№ 3. Через две точки: сначала угловой коэффициент, потом уравнение прямой по точке. \[ k=\frac{5-(-1)}{-2-2}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} \] \[ y+1=-\tfrac{3}{2}(x-2)\;\Rightarrow\;2y+2=-3x+6\;\Rightarrow\;3x+2y-4=0 \] Проверка: \(C(2;-1)\): \(6-2-4=0\); \(D(-2;5)\): \(-6+10-4=0\) — обе точки подходят.

№ 4. Длина — по формуле расстояния, середина — среднее координат. \[ XY=\sqrt{(8-4)^2+(9-(-1))^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \] \[ \left(\frac{4+8}{2};\,\frac{-1+9}{2}\right)=(6;\,4) \]

№ 5. Радиус — это расстояние от центра до точки окружности, а уравнение имеет вид \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\). \[ R^2=(-7-4)^2+(5-(-3))^2=121+64=185 \] \[ (x-4)^2+(y+3)^2=185 \] Проверка по точке \(M\): \((-11)^2+8^2=121+64=185\) — верно.