1) (4x−5)²=(2x+3)²; 4(x−5)²=(3x+1)²

На доске два уравнения: \[ 1)\ (4x-5)^2=(2x+3)^2,\qquad 4(x-5)^2=(3x+1)^2. \]

Ответ: \[ 1)\ x=4 \quad \text{или} \quad x=\frac13; \qquad 2)\ x=-11 \quad \text{или} \quad x=\frac95. \]

Главный приём. Если \(P^2=Q^2\), то \[ P=Q \quad \text{или} \quad P=-Q, \] потому что \[ P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)=0. \] Нельзя рассматривать только случай \(P=Q\) — тогда потеряется второй корень.

1) Здесь \(P=4x-5\), \(Q=2x+3\).

Случай \(P=Q\): \[ 4x-5=2x+3 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4. \]

Случай \(P=-Q\): \[ 4x-5=-(2x+3) \Rightarrow 4x-5=-2x-3 \Rightarrow 6x=2 \Rightarrow x=\frac13. \]

2) Сначала представляем коэффициент \(4\) как \(2^2\): \[ 4(x-5)^2=\bigl(2(x-5)\bigr)^2. \] Значит, \[ \bigl(2(x-5)\bigr)^2=(3x+1)^2. \]

Случай равенства: \[ 2(x-5)=3x+1 \Rightarrow 2x-10=3x+1 \Rightarrow x=-11. \]

Случай противоположных знаков: \[ 2(x-5)=-(3x+1) \Rightarrow 2x-10=-3x-1 \Rightarrow 5x=9 \Rightarrow x=\frac95. \]

Подстановка подтверждает все четыре корня; посторонних нет.