зделай задание 2,7,12 с развëрнутые ответом
Сверь числа и знаки с фото.
2 Дано: ABCD — прямоугольник AC = 14 см Найти: BO = ? [Рисунок: прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O] Ответ:
7 Дано: ABCD — прямоугольник \(\angle OCD = 54^\circ\) Найти: угол между диагоналями [Рисунок: прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O] Ответ:
12 Дано: ABCD — прямоугольник \(\angle ADB = 30^\circ\), BD = 10 см Найти: \(P_{AOB}\) = ? [Рисунок: прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O] Ответ:
Краткие ответы
- №2: \(BO=7\) см.
- №7: \(72^\circ\) — меньший угол между диагоналями; второй угол \(108^\circ\).
- №12: \(P_{AOB}=15\) см.
Разбор
№2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \[ BD=AC=14\text{ см},\qquad BO=\frac{BD}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]
№7. Точка \(O\) делит диагонали пополам, а диагонали прямоугольника равны, поэтому \[ OC=OD. \] Треугольник \(COD\) равнобедренный, значит углы при основании \(CD\) равны: \[ \angle OCD=\angle ODC=54^\circ. \] Тогда угол при вершине \(O\): \[ \angle COD=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ. \] Обычно за угол между диагоналями берут меньший, то есть \(72^\circ\). Смежный с ним угол равен \(108^\circ\).
№12. В прямоугольном треугольнике \(ABD\) угол \(D=30^\circ\), а \(BD=10\) см — гипотенуза. Катет \(AB\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \[ AB=\frac{BD}{2}=5\text{ см}. \] Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, значит \[ AO=BO=\frac{BD}{2}=5\text{ см}. \] Тогда у треугольника \(AOB\) все стороны равны \(5\) см: \[ P_{AOB}=5+5+5=15\text{ см}. \]
Проверка для №12: \(AD=10\cos30^\circ=5\sqrt{3}\), и \(AB^2+AD^2=25+75=100=BD^2\).
Обсуждение
2 сообщенияРазвëрнутые ответ
Ниже — подробные решения.
№2
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), \(AC=14\) см.
Найти: \(BO\).
Решение.
В прямоугольнике диагонали равны. Значит, \[ BD=AC=14\text{ см}. \]
В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Прямоугольник тоже является параллелограммом, поэтому точка \(O\) — середина диагонали \(BD\). Следовательно, \[ BO=\frac{BD}{2}. \]
Подставляем: \[ BO=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]
Ответ: \(BO=7\) см.
Проверка: \(OD=\frac{14}{2}=7\) см, тогда \(BO+OD=7+7=14\) см, что равно всей диагонали \(BD\). Всё сходится.
№7
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\),
\[
\angle OCD=54^\circ.
\]
Найти: угол между диагоналями.
Решение.
В прямоугольнике диагонали равны: \[ AC=BD. \]
Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам: \[ OC=\frac{AC}{2},\qquad OD=\frac{BD}{2}. \] Так как \(AC=BD\), то \[ OC=OD. \]
Значит, треугольник \(COD\) — равнобедренный с основанием \(CD\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \[ \angle OCD=\angle ODC=54^\circ. \]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Тогда угол при вершине \(O\): \[ \angle COD=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ. \]
Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Один из углов равен \(72^\circ\), смежный с ним: \[ 180^\circ-72^\circ=108^\circ. \] Углы между диагоналями — это \(72^\circ\) и \(108^\circ\). Обычно в ответ берут меньший угол.
Ответ: меньший угол между диагоналями равен \(72^\circ\); второй угол равен \(108^\circ\).
№12
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали пересекаются в точке \(O\),
\[
BD=10\text{ см},\qquad \angle ADB=30^\circ.
\]
Найти: периметр треугольника \(AOB\), то есть \(P_{AOB}\).
Решение.
Рассмотрим треугольник \(ABD\). Так как \(AB\perp AD\), этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине \(A\). Его гипотенуза — диагональ \(BD=10\) см.
Катет \(AB\) лежит против угла \(\angle ADB=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ AB=\frac{BD}{2}. \] Но можно записать и через синус: \[ AB=BD\cdot\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5\text{ см}. \]
Диагонали прямоугольника равны: \[ AC=BD=10\text{ см}. \]
Точка \(O\) делит диагонали пополам, поэтому \[ AO=\frac{AC}{2}=5\text{ см}, \] \[ BO=\frac{BD}{2}=5\text{ см}. \]
В треугольнике \(AOB\): \[ AO=5\text{ см},\quad BO=5\text{ см},\quad AB=5\text{ см}. \] Значит, треугольник \(AOB\) равносторонний, и его периметр: \[ P_{AOB}=5+5+5=15\text{ см}. \]
Ответ: \(P_{AOB}=15\) см.
Проверка. В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ AD=10\cos30^\circ=5\sqrt3\text{ см}. \] Тогда \[ AB^2+AD^2=5^2+(5\sqrt3)^2=25+75=100=BD^2. \] Значит, найденные стороны согласованы с теоремой Пифагора.
