1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

Краткий ответ

1. Разложение на множители

• 1) а) \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\);
• б) \(x^2+4x-12=(x-2)(x+6)\);
• в) \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\);
• г) \(x^2+4x-21=(x-3)(x+7)\);
• 2) а) \(5x^2-3x-26=(5x-13)(x+2)\);
• б) \(7x^2-8x+1=(7x-1)(x-1)\);
• в) \(12x^2-7x+1=(3x-1)(4x-1)\);
• г) \(x^2-2x-1=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\).

2. Сокращение дробей

• 1) а) \(\dfrac{x^2+x-12}{x-3}=x+4\), \(x\ne3\);
• б) \(\dfrac{x+2}{x^2+7x+10}=\dfrac{1}{x+5}\), \(x\ne-2,\ -5\);
• 2) а) \(\dfrac{6x^2+29x-5}{x+5}=6x-1\), \(x\ne-5\);
• б) \(\dfrac{x-4}{3x^2-14x+8}=\dfrac{1}{3x-2}\), \(x\ne4,\ \dfrac{2}{3}\);
• 3) а) \(\dfrac{2x^2+5x-3}{x^2-9}=\dfrac{2x-1}{x-3}\), \(x\ne-3,\ 3\);
• б) \(\dfrac{4x^2-1}{2x^2-7x-4}=\dfrac{2x-1}{x-4}\), \(x\ne-\dfrac{1}{2},\ 4\).

Как получается разложение

Квадратный трёхчлен раскладывают по его корням: \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \] Корни находят через дискриминант: \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Если \(a=1\), часто проще использовать теорему Виета: сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\).

Например, для \(5x^2-3x-26\): \[ D=(-3)^2-4\cdot5\cdot(-26)=529=23^2, \] корни \(\dfrac{13}{5}\) и \(-2\), поэтому \[ 5x^2-3x-26=5\left(x-\frac{13}{5}\right)(x+2)=(5x-13)(x+2). \]

Как сокращать дробь

Нужно разложить числитель и знаменатель и убрать общий множитель. Например: \[ \frac{x-4}{3x^2-14x+8} =\frac{x-4}{(3x-2)(x-4)} =\frac{1}{3x-2}. \] При этом исходный знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \(x\ne4\) и \(x\ne\dfrac{2}{3}\).

Проверка: если раскрыть скобки в полученных разложениях, получаются исходные трёхчлены. Например, \((x-2)(x-4)=x^2-6x+8\), а \((5x-13)(x+2)=5x^2-3x-26\).