Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x=2\) или \(x=3\).
Разложим левую часть на множители. Нужны два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме \(-(-5)=5\). Это \(2\) и \(3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]
откуда
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят. Принцип: для уравнения \(x^2+bx+c=0\) можно искать два числа с суммой \(-b\) и произведением \(c\); если они находятся, уравнение раскладывается на множители.
Обсуждение
2 сообщенияОбьясни как решать линейные уравнения
Что такое линейное уравнение
Линейное уравнение — это уравнение, где неизвестное \(x\) стоит только в первой степени: нет \(x^2\), нет \(x\) в знаменателе. После упрощения любое такое уравнение сводится к виду
\[ ax=b,\qquad a\neq 0, \]
и тогда
\[ x=\frac{b}{a}. \]
Главный принцип
Уравнение — как чашечные весы: что сделал с одной частью, то же делай с другой. Отсюда два рабочих приёма:
- перенос слагаемого через знак равенства меняет его знак на противоположный;
- умножение или деление обеих частей на одно и то же число (не равное нулю) не меняет корней.
Порядок действий
- Раскрой скобки, приведи подобные слагаемые отдельно слева и справа.
- Если есть дроби — умножь обе части на общий знаменатель.
- Собери слагаемые с \(x\) в одной части, числа — в другой (переноси со сменой знака).
- Приведи подобные.
- Раздели обе части на коэффициент при \(x\).
- Подставь найденный корень в исходное уравнение и проверь.
Пример 1 (простой)
\[ 3x+5=20. \]
Переносим \(5\) вправо:
\[ 3x=20-5=15,\qquad x=\frac{15}{3}=5. \]
Проверка: \(3\cdot5+5=20\). Верно.
Пример 2 (скобки и \(x\) с двух сторон)
\[ 2(x-3)=5x+9. \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x-6=5x+9. \]
Слагаемые с \(x\) — влево, числа — вправо:
\[ 2x-5x=9+6, \]
\[ -3x=15, \]
\[ x=-5. \]
Проверка: слева \(2(-5-3)=-16\), справа \(5\cdot(-5)+9=-16\). Совпало.
Пример 3 (дроби)
\[ \frac{x}{2}+\frac{1}{3}=x-\frac{1}{6}. \]
Общий знаменатель \(6\), умножаем на него каждое слагаемое:
\[ 3x+2=6x-1. \]
\[ 3x-6x=-1-2, \]
\[ -3x=-3, \]
\[ x=1. \]
Проверка: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\) и \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\). Верно.
Два особых случая
- Получилось \(0\cdot x=0\) — это верно при любом \(x\), корней бесконечно много.
- Получилось \(0\cdot x=5\) — это невозможно ни при каком \(x\), корней нет.
Частые ошибки
- забывают поменять знак при переносе;
- умножая на знаменатель, умножают не все слагаемые, а только с дробями;
- делят на коэффициент, не учтя его знак: из \(-3x=15\) получают \(x=5\) вместо \(-5\).
Проверка подстановкой ловит почти все такие промахи.
Хочешь потренироваться? Реши \(4(x+1)=3x+10\) и \(\dfrac{x}{3}-2=x+4\) — присылай решение, я проверю и разберу, если где-то не сойдётся.
