Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Кратко: корни уравнения \(x^2-5x+6=0\) — это \(x_1=2\) и \(x_2=3\).
Как понять принцип
Квадратный трёхчлен можно разложить на множители. Ищем два числа, которые:
- в сумме дают \(5\),
- в произведении дают \(6\).
Это \(2\) и \(3\). Поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]
Проверка
Подставим \(2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
Подставим \(3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияА как решать, если пример не раскладывается?
Кратко: если целых чисел «подобрать» не удаётся, работает универсальный способ — формула через дискриминант. Он не зависит от того, красиво ли раскладывается трёхчлен.
1. Формула, которая работает всегда
Для уравнения
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne 0 \]
сначала считают дискриминант:
\[ D=b^2-4ac \]
Потом корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
Три случая:
| Дискриминант | Корни |
|---|---|
| \(D>0\) | два разных корня |
| \(D=0\) | один корень \(x=-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(D<0\) | действительных корней нет |
2. Пример, где подбор не работает
\[ x^2-4x-1=0 \]
Здесь \(a=1,\ b=-4,\ c=-1\). Целых чисел, дающих в сумме \(4\), а в произведении \(-1\), нет — значит, разложение «в целых скобках» не получится. Считаем дискриминант:
\[ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=16+4=20 \]
\[ x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5} \]
То есть \(x_1=2+\sqrt{5}\), \(x_2=2-\sqrt{5}\). Иррациональный ответ — это нормально, а не ошибка.
Проверка: \(2+\sqrt{5}\approx 4{,}236\), и \(4{,}236^2-4\cdot 4{,}236-1\approx 0\). Второй корень тоже подходит.
3. Откуда берётся формула (выделение квадрата)
Иногда просят решить именно так. Делим на \(a\) и переносим свободный член:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
Дополняем левую часть до полного квадрата, прибавив \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\):
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Извлекая корень, получаем ту же формулу. Для примера выше:
\[ x^2-4x=1 \;\Rightarrow\; (x-2)^2=5 \;\Rightarrow\; x=2\pm\sqrt{5} \]
Что запомнить
- Подбор множителей — это быстрый путь, когда корни целые; он «не обязан» срабатывать.
- Если подбор не идёт — сразу дискриминант, он даёт ответ всегда.
- Виета удобна для проверки: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{c}{a}\). В примере: \(2+\sqrt5+2-\sqrt5=4\) и \((2+\sqrt5)(2-\sqrt5)=4-5=-1\) — сходится.
Хочешь, дам пару уравнений для тренировки — с целыми корнями и с «некрасивыми»?
