решить задания 28-30 с чертежом

Question

Расшифровка фото нейросетью:
28. Стороны параллелограмма 10 см и 18 см, угол 60°. Найти площадь и периметр. Чертёж.

29. а) Цилиндр: $r = 6$ см, $h = 12$ см — найти $V$ и $S_{\text{бок}}$. б) Конус: $r = 6$ см, $l = 10$ см — найти $V$ и $S_{\text{бок}}$. Чертёж.

30. а) Шар: $R = 6$ см — найти $V$ и $S_{\text{сферы}}$. б) Правильная четырёхугольная пирамида: $a = 16$ см, $h = 15$ см — найти $V$ и $S_{\text{бок}}$. Чертёж.

Answer

Краткие ответы

28. $P=56$ см, $S=90\sqrt3\approx155{,}9$ см².

29а. $V=432\pi\approx1357{,}2$ см³, $S_{\text{бок}}=144\pi\approx452{,}4$ см².

29б. $V=96\pi\approx301{,}6$ см³, $S_{\text{бок}}=60\pi\approx188{,}5$ см².

30а. $V=288\pi\approx904{,}8$ см³, $S_{\text{сферы}}=144\pi\approx452{,}4$ см².

30б. $V=1280$ см³, $S_{\text{бок}}=544$ см².

Приближённые значения даны до десятых.

28. Параллелограмм

Площадь параллелограмма через две стороны и угол:
$$
S=ab\sin\alpha.
$$
Периметр:
$$
P=2(a+b).
$$

$$
P=2(10+18)=56\text{ см}.
$$

$$
S=10\cdot18\cdot\sin60^\circ
=180\cdot\frac{\sqrt3}{2}
=90\sqrt3\approx155{,}9\text{ см}^2.
$$

Проверка через высоту:
$$
h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\approx8{,}7\text{ см},
\qquad S=18h=90\sqrt3.
$$

Схема:

D________C
/| /
10 / | h /
/ | /
A___H_____B
18

На чертеже: $AD=BC=10$, $AB=CD=18$, $\angle DAB=60^\circ$, $DH=h$.
Для построения удобно: $AH=10\cos60^\circ=5$ см, $DH=5\sqrt3\approx8{,}7$ см.

29а. Цилиндр

$$
V=\pi r^2h,
\qquad
S_{\text{бок}}=2\pi rh.
$$

$$
V=\pi\cdot6^2\cdot12=432\pi\approx1357{,}2\text{ см}^3.
$$

$$
S_{\text{бок}}=2\pi\cdot6\cdot12=144\pi\approx452{,}4\text{ см}^2.
$$

Схема:

___
/ \
| | | h=12
| | |
\___/
r=6

Вид сбоку цилиндра — прямоугольник высотой $12$ см и шириной $2r=12$ см; сверху и снизу — эллипсы.

29б. Конус

Сначала находим высоту по теореме Пифагора:
$$
h=\sqrt{l^2-r^2}
=\sqrt{10^2-6^2}
=\sqrt{64}=8\text{ см}.
$$

Объём:
$$
V=\frac13\pi r^2h
=\frac13\pi\cdot6^2\cdot8
=96\pi\approx301{,}6\text{ см}^3.
$$

Площадь боковой поверхности:
$$
S_{\text{бок}}=\pi rl
=\pi\cdot6\cdot10
=60\pi\approx188{,}5\text{ см}^2.
$$

Схема:

/\
/ \ l=10
/ | \
/ |h=8\
/___|____\
r=6

30а. Шар

$$
V=\frac43\pi R^3,
\qquad
S_{\text{сферы}}=4\pi R^2.
$$

$$
V=\frac43\pi\cdot6^3
=\frac43\pi\cdot216
=288\pi\approx904{,}8\text{ см}^3.
$$

$$
S_{\text{сферы}}=4\pi\cdot6^2
=144\pi\approx452{,}4\text{ см}^2.
$$

Схема:

_____
/ \
| O | R=6
\ _____ /

30б. Правильная четырёхугольная пирамида

Основание — квадрат со стороной $a=16$ см:
$$
S_{\text{осн}}=a^2=16^2=256\text{ см}^2.
$$

Объём:
$$
V=\frac13S_{\text{осн}}h
=\frac13\cdot256\cdot15
=1280\text{ см}^3.
$$

Апофема $m$ — высота боковой грани. Она находится из прямоугольного треугольника:
$$
m=\sqrt{h^2+\left(\frac a2\right)^2}
=\sqrt{15^2+8^2}
=\sqrt{225+64}
=17\text{ см}.
$$

Площадь боковой поверхности — четыре одинаковых треугольника:
$$
S_{\text{бок}}
=4\cdot\frac12\cdot a\cdot m
=2\cdot16\cdot17
=544\text{ см}^2.
$$

Схема разреза:

S
|\
| \
15 | \ 17
| \
O----M
8

На общем чертеже: начерти квадрат $ABCD$ со стороной $16$, отметь центр $O$, восстанови из $O$ перпендикуляр $SO=15$, соедини $S$ с $A,B,C,D$. Точка $M$ — середина стороны $AB$; тогда $OM=8$, $SM=17$.

Проверка: $6^2+8^2=10^2$ для конуса, $15^2+8^2=17^2$ для пирамиды. Все объёмы — в см³, площади — в см².