Реши уравнение logo,1 x>1
Считаю, что записано \(\log_{0{,}1}x>1\).
\[ \log_{0{,}1}x>1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<0{,}1 \]
Ответ: \(x\in(0;\,0{,}1)\).
Как рассуждать:
Область допустимых значений логарифма: \[ x>0. \]
Представим \(1\) как логарифм по тому же основанию: \[ 1=\log_{0{,}1}0{,}1. \]
Получаем: \[ \log_{0{,}1}x>\log_{0{,}1}0{,}1. \]
Основание \(0{,}1\) меньше \(1\), поэтому функция \(y=\log_{0{,}1}t\) убывает. Значит, при переходе к аргументам знак неравенства меняется: \[ x<0{,}1. \]
Учитываем \(x>0\): \[ 0<x<0{,}1. \]
Проверка: например, \(x=0{,}05\) принадлежит промежутку, и \(\log_{0{,}1}0{,}05>1\). А \(x=0{,}2\) уже не подходит.
Обсуждение
2 сообщенияlog 0,1x<-1
Если это \(\log_{0{,}1}x<-1\), то:
\[ \log_{0{,}1}x<-1 \]
\[ -1=\log_{0{,}1}10, \quad \text{так как } 0{,}1^{-1}=10. \]
Значит:
\[ \log_{0{,}1}x<\log_{0{,}1}10. \]
Основание \(0{,}1<1\), поэтому логарифмическая функция убывает — знак неравенства меняется:
\[ x>10. \]
Учитываем ОДЗ: \(x>0\), и она уже входит в \(x>10\).
Ответ:
\[ x\in(10;+\infty). \]
Проверка: при \(x=100\) получаем \(\log_{0{,}1}100=-2<-1\), верно. При \(x=1\) значение равно \(0\), что не меньше \(-1\).
