Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).
Как решать через дискриминант
Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) сначала считаем дискриминант:
\[ D=b^{2}-4ac \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):
\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Быстрый способ — теорема Виета
Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\):
\[ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q \]
У нас \(p=-5,\ q=6\), значит:
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}x_{2}=6 \]
Подходят числа \(2\) и \(3\).
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня верны.
Принцип: если дискриминант положительный — два корня, если равен нулю — один, если отрицательный — действительных корней нет.
Обсуждение
3 сообщения6.1 график
На рисование
Если в пункте 6.1 нужно построить график функции \(y=x^{2}-5x+6\) (той же, что в уравнении), вот всё для рисунка.
Что известно о параболе
- Ветви направлены вверх (\(a=1>0\)).
- Вершина: \(x_{в}=\frac{5}{2}=2{,}5\), тогда
\[ y_{в}=2{,}5^{2}-5\cdot 2{,}5+6=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25 \]
То есть вершина — точка \((2{,}5;\ -0{,}25)\), она чуть-чуть ниже оси \(Ox\).
- Ось симметрии — прямая \(x=2{,}5\).
- Точки пересечения с осью \(Ox\) — корни уравнения: \((2;\ 0)\) и \((3;\ 0)\).
- Пересечение с осью \(Oy\): \((0;\ 6)\); симметричная ей точка — \((5;\ 6)\).
Таблица точек
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(12\) | \(6\) | \(2\) | \(0\) | \(-0{,}25\) | \(0\) | \(2\) | \(6\) |
Порядок построения
- Отметь оси, возьми масштаб: \(1\) клетка = \(1\) единица (если нужно, по \(Oy\) можно взять \(1\) клетка = \(2\) единицы, чтобы влезла точка \(y=12\)).
- Поставь вершину \((2{,}5;\ -0{,}25)\) и проведи пунктиром ось симметрии \(x=2{,}5\).
- Отметь корни \((2;0)\), \((3;0)\) и точку \((0;6)\).
- Добавь симметричные точки из таблицы: \((1;2)\) и \((4;2)\), \((-1;12)\) и \((5;6)\).
- Соедини точки плавной кривой, ветви — вверх, симметрично относительно \(x=2{,}5\).
Схематично это выглядит так: парабола почти касается оси \(Ox\) между \(2\) и \(3\), а вверх уходит довольно круто.
Если в 6.1 задана другая функция (например, \(y=x^{2}+5x+6\) или что-то с модулем/дробью), пришли её условие — построю график уже для неё.
