6.1 график

Это задание 6.1 — нужно заштриховать область, которая является пересечением полуплоскостей. На фото обведён пункт 4, поэтому разберу его подробно, а для остальных дам готовые ориентиры.

Пункт 4

\[ \begin{cases} y-3x+1\ge 0,\\ x+2y\le 6. \end{cases} \]

1. Выражаем \(y\):

\[ \begin{cases} y\ge 3x-1,\\ y\le 3-\dfrac{x}{2}. \end{cases} \]

2. Строим две граничные прямые:

• \(y=3x-1\) — сплошная, так как неравенство нестрогое (\(\ge\));
• \(y=3-\dfrac{x}{2}\) — тоже сплошная.

3. Находим точку пересечения прямых:

\[ 3x-1=3-\frac{x}{2} \]

\[ 6x-2=6-x,\qquad 7x=8,\qquad x=\frac{8}{7}. \]

Тогда

\[ y=3\cdot\frac{8}{7}-1=\frac{24}{7}-\frac{7}{7}=\frac{17}{7}. \]

Вершина области:

\[ A\left(\frac{8}{7};\frac{17}{7}\right). \]

4. Определяем нужную область. Берём пробную точку \((0;0)\):

\[ 0-0+1=1\ge 0,\qquad 0+0=0\le 6. \]

Обе неравенства верны, значит \((0;0)\) входит в область. Следовательно, штрихуем полосу между прямыми:

\[ 3x-1\le y\le 3-\frac{x}{2}. \]

При этом \(x\le \dfrac{8}{7}\), потому что правее вершины прямые «меняются местами» и неравенство \(3x-1\le y\le 3-\frac{x}{2}\) уже не выполняется.

Итог для пункта 4: на координатной плоскости две сплошные прямые пересекаются в точке \(\left(\frac{8}{7};\frac{17}{7}\right)\). Штриховка находится внутри угла, раскрытого влево: между лучом \(y=3x-1\), идущим влево-вниз, и лучом \(y=3-\frac{x}{2}\), идущим влево-вверх.

Например, при \(x=0\) заштрихованная часть — это отрезок от \(y=-1\) до \(y=3\).

Остальные пункты 6.1 — кратко

1)
\[ \begin{cases} y<x,\\ y\le -2x. \end{cases} \] Граница \(y=x\) — пунктир, \(y=-2x\) — сплошная. Вершина \((0;0)\). Штриховка — угол, раскрытый вниз, между лучом \(y=x\) при \(x\le 0\) и лучом \(y=-2x\) при \(x\ge 0\). Пробная точка \((0;-1)\) подходит.

2)
\[ \begin{cases} y<2x,\\ y\le 3-3x. \end{cases} \] Граница \(y=2x\) — пунктир, \(y=3-3x\) — сплошная. Вершина: \[ 2x=3-3x \Rightarrow 5x=3 \Rightarrow x=\frac35,\quad y=\frac65. \] То есть \(\left(\frac35;\frac65\right)\). Штриховка — угол, раскрытый вниз. Пробная точка \((0;-1)\) подходит.

3)
\[ \begin{cases} y>\dfrac{x}{2},\\ y\ge 2x. \end{cases} \] Граница \(y=\dfrac{x}{2}\) — пунктир, \(y=2x\) — сплошная. Вершина \((0;0)\). Штриховка — угол, раскрытый вверх, между лучом \(y=\dfrac{x}{2}\) при \(x\le 0\) и лучом \(y=2x\) при \(x\ge 0\). Пробная точка \((0;1)\) подходит.

Общий принцип: каждое неравенство задаёт полуплоскость; решение системы — их пересечение. Строгое неравенство даёт пунктирную границу, нестрогое — сплошную. Для проверки бери удобную точку, например \((0;0)\), и смотри, подходит ли она.