Начерти в тетради треугольник ABC. Отметь внутри него точку D, а снаружи — точку E.

На фото полностью видно задание 10 — его и разбираю.

Краткий ответ. Да, отрезок \(DE\) обязательно пересечёт какую-то сторону треугольника. Чтобы отрезок \(MN\) не пересекал стороны, проще всего расположить оба его конца внутри треугольника: тогда весь отрезок будет внутри. Можно и оба конца снаружи, но так, чтобы отрезок прошёл мимо треугольника. Нельзя брать один конец внутри, а другой снаружи — тогда пересечение неизбежно.

Почему так:

1. Точка \(D\) находится внутри треугольника, а \(E\) — снаружи. Чтобы выйти наружу, отрезок должен пересечь границу треугольника, то есть какую-то его сторону.
2. Если обе точки \(M\) и \(N\) лежат внутри треугольника, соединяющий их отрезок не выходит за его пределы: треугольник не имеет «впадин».
3. Если обе точки снаружи, тоже можно провести \(MN\) мимо треугольника, не задевая его сторон.

Проверка. На чертеже у \(DE\) должна быть общая точка со стороной треугольника. У \(MN\) общих точек со сторонами быть не должно; концы также не должны лежать на сторонах.