Практическая работа №4 Тема: Тригонометрические формулы и формулы приведения.

Кратко

1. а) \(\frac{\sqrt3}{2}\); б) \(\frac{\sqrt3}{3}\).
2. \(\frac{\sqrt3}{3}\).
3. \(-\frac52\) при \(\sin\alpha\ne0\).
4. Тождество верно.
5. \(\cos\alpha\) при \(\sin\alpha\ne0,\ \cos\alpha\ne0\). I. А) \(6\); Б) \(5\); В) \(10\).

Разбор

1. Формулы приведения: убираем полный период, затем учитываем знак функции в нужной четверти.

\[ \sin\frac{8\pi}{3} =\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =\sin\frac{2\pi}{3} =\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ \mathrm{tg}\,210^\circ =\mathrm{tg}(180^\circ+30^\circ) =\mathrm{tg}\,30^\circ =\frac{\sqrt3}{3}. \]

2. Тот же угол, но через формулу сложения для тангенса:

\[ \mathrm{tg}\,210^\circ =\mathrm{tg}(180^\circ+30^\circ) =\frac{\mathrm{tg}\,180^\circ+\mathrm{tg}\,30^\circ} {1-\mathrm{tg}\,180^\circ\,\mathrm{tg}\,30^\circ} =\frac{0+\frac{\sqrt3}{3}}{1-0} =\frac{\sqrt3}{3}. \]

3. Приводим каждый член к \(\sin\alpha\):

\[ \sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha,\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha, \] \[ \sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha. \]

Тогда

\[ \frac{2\sin\alpha+3\sin\alpha}{-2\sin\alpha} =\frac{5\sin\alpha}{-2\sin\alpha} =-\frac52. \]

4. По формулам приведения:

\[ \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\,\alpha,\qquad \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\,\alpha, \] \[ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha, \] \[ \cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha. \]

Поэтому левая часть равна

\[ \mathrm{ctg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\alpha +\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha) +\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha) =1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0. \]

5. Снова применяем формулы приведения:

\[ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha, \] \[ \mathrm{tg}(\pi-\alpha)=-\mathrm{tg}\,\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha. \]

Получаем

\[ \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{(-\mathrm{tg}\,\alpha)(-\cos\alpha)} =\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} =\cos\alpha. \]

I.
А)

\[ \frac{6\cos59^\circ}{\sin31^\circ} =\frac{6\sin31^\circ}{\sin31^\circ}=6, \]

так как \(\cos59^\circ=\sin31^\circ\).

Б)

\[ \frac{-5\sin79^\circ}{\sin281^\circ} =\frac{-5\sin79^\circ}{-\sin79^\circ}=5, \]

так как \(\sin281^\circ=\sin(360^\circ-79^\circ)=-\sin79^\circ\).

В)

\[ \mathrm{tg}\,170^\circ =\mathrm{tg}(180^\circ-10^\circ) =-\mathrm{tg}\,10^\circ =-\mathrm{ctg}\,80^\circ, \]

поэтому

\[ -10\,\mathrm{tg}\,80^\circ\cdot(-\mathrm{ctg}\,80^\circ)=10. \]