Решите уравнения (136—143).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнения Решите уравнения (136—143). 136.— а) \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\); б) \(\cos x=-\frac{1}{2}\); в) \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\); г) \(\cos x=-1\). 137.— а) \(2\cos x+\sqrt{3}=0\); б) \(\sqrt{2}\cos x-1=0\); в) \(2\cos x+\sqrt{2}=0\); г) \(2\cos x-1=0\). 138.— а) \(\sin x=\frac{1}{2}\); б) \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sin x=-\frac{1}{2}\); г) \(\sin x=-1\). 139.— а) \(\sqrt{2}\sin x+1=0\); б) \(2\sin x+\sqrt{3}=0\); в) \(2\sin x-1=0\); г) \(2\sin x+\sqrt{2}=0\). 140.— а) \(\operatorname{tg} x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\); б) \(\operatorname{ctg} x=\sqrt{3}\); в) \(\operatorname{tg} x=1\); г) \(\operatorname{tg} x=0\). 141.— а) \(\operatorname{tg} x+\sqrt{3}=0\); б) \(\operatorname{ctg} x+1=0\); в) \(\sqrt{3}\operatorname{tg} x-1=0\); г) \(\sqrt{3}\operatorname{ctg} x-1=0\). 142.— а) \(\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\); б) \(\cos\frac{x}{3}=-\frac{1}{2}\); в) \(\sin\frac{x}{4}=\frac{1}{2}\); г) \(\cos 4x=0\). 143.— а) \(\sin x=-0{,}6\); б) \(\operatorname{ctg} x=2{,}5\); в) \(\cos x=0{,}3\); г) \(\operatorname{tg} x=-3{,}5\).
На фото основной блок — «Решите уравнения (136—143)»; ниже начинается уже другой блок (144—147), поэтому его отдельно не смешиваю. Во всех ответах \(n\in\mathbb Z\).
136.
а) \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\); б) \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\); в) \(x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n\); г) \(x=\pi+2\pi n\).
137.
а) \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\); б) \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\); в) \(x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\); г) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\).
138.
а) \(x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\); б) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n\); в) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\); г) \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\).
139.
а) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n\); б) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n\); в) \(x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\); г) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n\).
140.
а) \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi n\); б) \(x=\frac{\pi}{6}+\pi n\); в) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\); г) \(x=\pi n\).
141.
а) \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi n\); б) \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi n\); в) \(x=\frac{\pi}{6}+\pi n\); г) \(x=\frac{\pi}{3}+\pi n\).
142.
а) \(x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\); б) \(x=\pm2\pi+6\pi n\); в) \(x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n\); г) \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\).
143.
а) \(x=(-1)^{n+1}\arcsin 0{,}6+\pi n\); б) \(x=\operatorname{arcctg}2{,}5+\pi n\); в) \(x=\pm\arccos0{,}3+2\pi n\); г) \(x=-\operatorname{arctg}3{,}5+\pi n\).
Как получать такие ответы
Сначала уединяем тригонометрическую функцию, затем применяем стандартные формулы:
\[ \cos x=a \Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n, \]
\[ \sin x=a \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n, \]
\[ \operatorname{tg}x=a \Rightarrow x=\operatorname{arctg}a+\pi n, \]
\[ \operatorname{ctg}x=a \Rightarrow x=\operatorname{arcctg}a+\pi n. \]
Например, в 137а:
\[ 2\cos x+\sqrt3=0 \Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
По формуле:
\[ x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n. \]
Если аргумент не \(x\), а \(2x\), \(x/3\) или \(4x\), сначала решают уравнение для всего угла, а потом делят или умножают. Например, в 142а:
\[ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n, \]
поэтому
\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. \]
В 143 ответы с \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\operatorname{arctg}\) и \(\operatorname{arcctg}\) — это нормально: там нет табличных значений.
