541. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм...
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.
Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.
Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку M, симметричную точке D относительно точки C. Докажите, что \(S_{ABCD}=S_{AMD}\).
На фото задачи 541–543. Разберу все три.
Кратко: в 541 площади всех составленных фигур одинаковы; в 542 подойдут квадрат \(2\times2\), прямоугольник \(1\times4\) и прямоугольный треугольник с катетами \(2\) и \(2\); в 543 равенство площадей следует из того, что \(DM=2CD\), а высота из \(A\) к этим основаниям общая.
541
Пусть катеты каждого из двух равных прямоугольных треугольников равны \(a\) и \(b\). Тогда
\[ S_{\triangle}=\frac{ab}{2}, \]
а площадь двух таких треугольников:
\[ 2\cdot \frac{ab}{2}=ab. \]
При складывании без наложений и просветов площадь составной фигуры равна сумме площадей её частей. Поэтому у всех трёх фигур площадь одна и та же — \(ab\), хотя формы разные.
Как сложить:
- а) приложить треугольники по катету так, чтобы свободные катеты образовали одну прямую, — получится равнобедренный треугольник;
- б) приложить по гипотенузе — получится прямоугольник;
- в) приложить по катету, расположив прямые углы на разных концах общего катета, — получится наклонный параллелограмм, не прямоугольник.
Ответ: площади всех полученных фигур равны.
542
Единичный квадрат имеет сторону \(1\), его площадь равна \(1\).
- а) Квадрат со стороной \(2\):
\[ S=2^2=4. \] - б) Прямоугольник со сторонами \(1\) и \(4\), не квадрат:
\[ S=1\cdot4=4. \] - в) Прямоугольный треугольник с катетами \(2\) и \(2\):
\[ S=\frac12\cdot2\cdot2=2. \]
543
Пусть \(h\) — расстояние от точки \(A\) до прямой \(CD\).
Так как \(M\) симметрична \(D\) относительно \(C\), точка \(C\) — середина отрезка \(DM\). Значит,
\[ DC=CM,\qquad DM=2CD. \]
Точки \(D,C,M\) лежат на одной прямой, поэтому высота из \(A\) к прямой \(DM\) такая же, как высота к прямой \(CD\), то есть равна \(h\).
Площадь параллелограмма:
\[ S_{ABCD}=CD\cdot h. \]
Площадь треугольника \(AMD\), где основание \(DM\):
\[ S_{AMD}=\frac12\cdot DM\cdot h =\frac12\cdot 2CD\cdot h =CD\cdot h. \]
Следовательно,
\[ S_{ABCD}=S_{AMD}. \]
Что здесь главное: у параллелограмма и треугольника можно выбрать такие основания, что высоты совпадают, а основание треугольника ровно вдвое больше стороны параллелограмма.
