4. Найдите расстояния от точки (1; 2; –3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.

Объясню по шагам. Дана точка \(M(1;2;-3)\). Её координаты показывают смещения вдоль осей \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\).

Общая формула расстояния между точками \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\): \[ AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \]

1. Расстояния до координатных плоскостей

Плоскость \(Oxy\) состоит из точек вида \((x;y;0)\). Поэтому расстояние от \(M(1;2;-3)\) до неё — это расстояние только по координате \(z\): \[ d_{Oxy}=|z|=|-3|=3. \]

Аналогично:

• плоскость \(Oxz\): \(y=0\), значит \(d_{Oxz}=|2|=2\);
• плоскость \(Oyz\): \(x=0\), значит \(d_{Oyz}=|1|=1\).

Получаем: \[ d_{Oxy}=3,\qquad d_{Oxz}=2,\qquad d_{Oyz}=1. \]

2. Расстояния до координатных осей

Чтобы найти расстояние до оси \(Ox\), берём только координаты \(y\) и \(z\), потому что ось \(Ox\) «отвечает» за координату \(x\): \[ d_{Ox}=\sqrt{y^2+z^2} =\sqrt{2^2+(-3)^2} =\sqrt{4+9} =\sqrt{13}. \]

До оси \(Oy\): \[ d_{Oy}=\sqrt{x^2+z^2} =\sqrt{1^2+(-3)^2} =\sqrt{1+9} =\sqrt{10}. \]

До оси \(Oz\): \[ d_{Oz}=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5}. \]

3. Расстояние до начала координат

Начало координат — точка \(O(0;0;0)\). Тогда: \[ OM=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}. \]

Ответ:
До плоскостей: \(3,\ 2,\ 1\).
До осей: \(\sqrt{13},\ \sqrt{10},\ \sqrt{5}\).
До начала координат: \(\sqrt{14}\).