реши задачи
Сверь числа и знаки с фото.
- Радиус-вектор, задающий положение лошади, движущейся по окружности на арене цирка, повернулся на угол \(\Delta\varphi = 2\pi/4\) рад за время \(t = 4{,}0\) с. Определите угловую скорость движения лошади.
- Диск равномерно вращается с угловой скоростью \(\omega = 25\) рад/с относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Модуль наибольшей линейной скорости точек диска \(v = 50\) м/с. Определите радиус диска.
- Определите угловую скорость и частоту обращения кабины карусели, если период ее обращения \(T = 5{,}0\) с.
- Модуль линейной скорости точек, лежащих на ободе вращающегося диска, в \(n = 2{,}5\) раза больше модуля линейной скорости точек, расположенных на расстоянии \(l = 15\) см ближе к оси диска. Определите радиус диска. Ось диска проходит через его центр.
- Вал электродвигателя [неразборчиво] за время \(t = 3{,}0\) с совершает \(N = 15\) оборотов. Определите частоту и период равномерного вращения вала.
- Каток асфальтоукладчика диаметром \(d = 0{,}80\) м, двигаясь с постоянной скоростью, переместился на расстояние \(l = 4{,}0\) м за время \(t = 8{,}0\) с. Определите угловую скорость вращения катка.
- Барабан стиральной машины при отжиме белья вращается равномерно с частотой \(\nu = 400\) 1/мин. Диаметр барабана \(d = 40\) см. Определите модуль линейной скорости точек на поверхности барабана и период его вращения.
- Радиус-вектор, задающий положение лошади, движущейся по окружности на арене цирка, повернулся на угол \(\Delta\varphi = 2\pi/4\) рад за время \(t = 4{,}0\) с. Определите угловую скорость движения лошади.
- Диск равномерно вращается с угловой скоростью \(\omega = 25\) рад/с относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Модуль наибольшей линейной скорости точек диска \(v = 50\) м/с. Определите радиус диска.
- Определите угловую скорость и частоту обращения кабины карусели, если период ее обращения \(T = 5{,}0\) с.
- Модуль линейной скорости точек, лежащих на ободе вращающегося диска, в \(n = 2{,}5\) раза больше модуля линейной скорости точек, расположенных на расстоянии \(l = 15\) см ближе к оси диска. Определите радиус диска. Ось диска проходит через его центр.
- Вал электродвигателя [неразборчиво] за время \(t = 3{,}0\) с совершает \(N = 15\) оборотов. Определите частоту и период равномерного вращения вала.
- Каток асфальтоукладчика диаметром \(d = 0{,}80\) м, двигаясь с постоянной скоростью, переместился на расстояние \(l = 4{,}0\) м за время \(t = 8{,}0\) с. Определите угловую скорость вращения катка.
- Барабан стиральной машины при отжиме белья вращается равномерно с частотой \(\nu = 400\) 1/мин. Диаметр барабана \(d = 40\) см. Определите модуль линейной скорости точек на поверхности барабана и период его вращения.
Кратко — ответы:
- 270. \(\omega \approx 0{,}39\) рад/с
- 271. \(R = 2{,}0\) м
- 272. \(\omega \approx 1{,}26\) рад/с; \(\nu = 0{,}20\) с\(^{-1}\)
- 273. \(R = 0{,}25\) м \(= 25\) см
- 274. \(\nu = 5{,}0\) с\(^{-1}\); \(T = 0{,}20\) с
- 275. \(\omega = 1{,}25\) рад/с
- 276. \(v \approx 8{,}4\) м/с; \(T = 0{,}15\) с
Главное. При равномерном вращении все точки тела имеют одинаковую угловую скорость \(\omega\), а линейная скорость зависит от расстояния до оси: \(v=\omega r\). Основные формулы:
\[ \omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu, \qquad v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}, \]
\[ T=\frac{1}{\nu}=\frac{t}{N}, \qquad \nu=\frac{N}{t}. \]
Разбор задач
270. Угол \(2\pi/4\) — это четверть полного оборота. Угловая скорость:
\[ \omega=\frac{\Delta\varphi}{t} =\frac{2\pi/4}{4{,}0} =\frac{\pi}{8}\approx0{,}39\ \text{рад/с}. \]
271. Наибольшая линейная скорость — у точек обода, где \(r=R\):
\[ v_{\max}=\omega R \quad\Rightarrow\quad R=\frac{v_{\max}}{\omega} =\frac{50}{25}=2{,}0\ \text{м}. \]
272. По периоду находим угловую скорость и частоту:
\[ \omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{5{,}0}\approx1{,}26\ \text{рад/с}, \]
\[ \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{5{,}0}=0{,}20\ \text{с}^{-1}. \]
273. Пусть радиус диска \(R\). Тогда:
\[ v_1=\omega R,\qquad v_2=\omega(R-l). \]
По условию \(v_1/v_2=n\):
\[ \frac{R}{R-l}=n \quad\Rightarrow\quad R=\frac{n l}{n-1}. \]
Подставляем \(n=2{,}5\), \(l=0{,}15\) м:
\[ R=\frac{2{,}5\cdot0{,}15}{2{,}5-1} =\frac{0{,}375}{1{,}5}=0{,}25\ \text{м}. \]
Проверка: \(25/10=2{,}5\) — сходится.
274. Частота — число оборотов за секунду:
\[ \nu=\frac{N}{t}=\frac{15}{3{,}0}=5{,}0\ \text{с}^{-1}, \]
\[ T=\frac{t}{N}=\frac{3{,}0}{15}=0{,}20\ \text{с}. \]
275. Каток катится без проскальзывания, поэтому скорость оси:
\[ v=\frac{l}{t}=\frac{4{,}0}{8{,}0}=0{,}50\ \text{м/с}. \]
Радиус катка \(r=d/2=0{,}40\) м. Тогда:
\[ \omega=\frac{v}{r} =\frac{0{,}50}{0{,}40}=1{,}25\ \text{рад/с}. \]
276. Переведём частоту в секунды:
\[ \nu=\frac{400}{60}\approx6{,}67\ \text{с}^{-1}. \]
Период:
\[ T=\frac{1}{\nu}\approx0{,}15\ \text{с}. \]
Радиус барабана \(r=d/2=0{,}20\) м, поэтому:
\[ v=2\pi r\nu \approx2\cdot3{,}14\cdot0{,}20\cdot6{,}67 \approx8{,}4\ \text{м/с}. \]
Что запомнить: угловая скорость показывает, на какой угол тело поворачивается за секунду; она одинакова для всех точек вращающегося тела. Линейная скорость показывает, какой путь точка проходит за секунду, и растёт с увеличением радиуса.
