объясни пожалуйста всю геометрию за 7 класс

Краткий ответ

Весь курс геометрии 7 класса держится на четырёх больших блоках. Если понять их, остальное — следствия:

1. Начальные сведения: точки, прямые, отрезки, углы.
2. Треугольники и признаки их равенства.
3. Параллельные прямые и углы при секущей.
4. Сумма углов треугольника и прямоугольные треугольники.

Плюс отдельно — построения циркулем и линейкой.

---

1. Начальные сведения

• Через две точки проходит единственная прямая; через одну точку можно провести сколько угодно прямых.
• Угол измеряется в градусах: развёрнутый — \(180^\circ\), прямой — \(90^\circ\), острый меньше \(90^\circ\), тупой больше \(90^\circ\).
• Смежные углы — имеют общую сторону, а две другие образуют прямую. Их сумма всегда \(180^\circ\).
• Вертикальные углы — образованы пересечением двух прямых, лежат «напротив» друг друга и равны.
• Биссектриса угла делит его пополам.
• Две прямые перпендикулярны, если угол между ними \(90^\circ\).

Главная мысль: почти любая задача на углы решается через «сумма смежных \(180^\circ\)» и «вертикальные равны».

---

2. Треугольники

Элементы: три вершины, три стороны, три угла.

• Медиана — отрезок от вершины к середине противоположной стороны.
• Биссектриса — отрезок от вершины, делящий угол пополам.
• Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне (или её продолжению).

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, если:

1. две стороны и угол между ними равны;
2. сторона и два прилежащих к ней угла равны;
3. три стороны равны.

Важно понимать: сравниваем именно соответствующие элементы — против равных сторон лежат равные углы. «Похожий вид» на рисунке доказательством не является.

Равнобедренный треугольник

• Две боковые стороны равны.
• Углы при основании равны.
• Медиана, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой и высотой.

Равносторонний треугольник — частный случай: все стороны равны, все углы по \(60^\circ\).

---

3. Параллельные прямые

Параллельные прямые не пересекаются.

При пересечении двух прямых секущей образуются пары углов:

• накрест лежащие — равны;
• соответственные — равны;
• односторонние — в сумме \(180^\circ\).

Работает в обе стороны:

• если углы обладают таким свойством, то прямые параллельны (признак);
• если прямые параллельны, то углы обладают таким свойством (свойство).

Аксиома параллельности: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

---

4. Сумма углов и прямоугольные треугольники

Сумма углов любого треугольника:

\[ \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \]

Следствия:

• в треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов;
• внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним;
• неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

В прямоугольном треугольнике:

• сумма острых углов \(90^\circ\);
• катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы;
• расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра.

---

Как рассуждать в типовой задаче

1. Запиши, что дано и что нужно найти или доказать.
2. Отметь на рисунке равные отрезки и углы.
3. Ищи пару треугольников: если нашёл три пары равных элементов — применяй признак.
4. Если углы не в треугольниках — используй смежные, вертикальные, параллельность или сумму \(180^\circ\).
5. В конце подставь ответ обратно в условие и проверь, что все углы и стороны согласуются.

Пример проверки: при параллельных прямых накрест лежащий угол \(\angle 1=50^\circ\), значит \(\angle 2=50^\circ\), а смежный с ним \(\angle 3=180^\circ-50^\circ=130^\circ\). Сумма \(\angle 1+\angle 3=180^\circ\) — всё сходится.