Постройте график функции:

На фото несколько номеров; ниже я разобрал центральное задание №22.

Краткий ответ: \(m=-5\) или \(m=2{,}5\).

1. Строим график по трём кускам.

• При \(x<1\): \(y=4x-1{,}5\). Это луч, который идёт вверх к точке \((1;2{,}5)\). Например, при \(x=0\): \(y=-1{,}5\), при \(x=0{,}5\): \(y=0{,}5\).
• При \(1\le x\le4\): \(y=-2{,}5x+5\). Это отрезок от \((1;2{,}5)\) до \((4;-5)\); через \((2;0)\).
• При \(x>4\): \(y=x-9\). Это луч, идущий вправо-вверх от \((4;-5)\); например, через \((5;-4)\) и \((9;0)\).

Получается график: подъём к точке \((1;2{,}5)\), затем спуск к \((4;-5)\), затем снова подъём вправо.

2. Почему именно эти \(m\).

Горизонтальная прямая \(y=m\) пересекает каждый кусок не более одного раза. Находим значения функции на кусках:

\[ \text{первый: } y<2{,}5,\qquad \text{второй: } -5\le y\le2{,}5,\qquad \text{третий: } y>-5. \]

Считаем число пересечений:

\[ \begin{array}{c|c} m & \text{число общих точек}\\ \hline m>2{,}5 & 1\\ m=2{,}5 & 2\\ -5<m<2{,}5 & 3\\ m=-5 & 2\\ m<-5 & 1 \end{array} \]

3. Проверка.

• При \(m=2{,}5\): точки \((1;2{,}5)\) и \((11{,}5;2{,}5)\) — ровно две.
• При \(m=-5\): точки \((-0{,}875;-5)\) и \((4;-5)\) — ровно две.

\[ \boxed{m=-5 \text{ или } m=2{,}5} \]