Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
16 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности? 17 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности? 18 Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность? 19 Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность? Дополнительные задачи 796 Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом (см. п. 41). 797 Две окружности радиусов \(r\) и \(R\) касаются внешним образом в точке \(A\). К ним проведена общая внешняя касательная \(MK\). а) Докажите, что \(\angle KAM = 90^\circ\); б) найдите длину отрезка \(MK\). 798 Даны две окружности радиусов \(r\) и \(R\). Расстояние между их центрами равно \(d\) (\(d > R + r\)). Найдите отрезок их общей а) внешней касательной; б) внутренней касательной. 799 Диаметр \(AA_1\) окружности перпендикулярен к хорде \(BB_1\). Докажите, что градусные меры дуг \(AB\) и \(AB_1\), меньших полуокружности, равны. 800 Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на окружности. Докажите, что если \(\smile AB = \smile CD\), то \(AB = CD\). 801 Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Через точку \(A\) проведена прямая \(m\), пересекающая эти окружности в точках \(C\) и \(D\). Докажите, что величина угла \(CBD\) не зависит от выбора прямой \(m\). 802 Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Через точку \(A\) проведена прямая \(m\), пересекающая эти окружности в точках \(C\) и \(D\). Через точки \(C\) и \(D\) проведены касательные к окружно- [обрезано]
На фото несколько отдельных заданий: вопросы 16–19 и задачи 796–802. Какое именно решить? Назови номер — тогда разберу его по шагам.
Обсуждение
4 сообщения797
Я не вижу условие задачи 797: изображение в переписке недоступно. Пришли фото ещё раз или запиши условие текстом — тогда решу по шагам.
Ответ: а) \(\angle KAM=90^\circ\); б) \(MK=2\sqrt{Rr}\).
а) Доказательство
Пусть \(O_1\), \(O_2\) — центры окружностей радиусов \(r\) и \(R\), \(K\) и \(M\) — точки касания с общей внешней касательной. При внешнем касании \(O_1\), \(A\), \(O_2\) лежат на одной прямой и
\[ O_1O_2=O_1A+AO_2=r+R. \]
- Радиусы \(O_1K\) и \(O_2M\) перпендикулярны касательной \(KM\), значит \(O_1K\parallel O_2M\).
- Треугольники \(O_1AK\) и \(O_2AM\) равнобедренные (\(O_1A=O_1K=r\), \(O_2A=O_2M=R\)), поэтому
\[ \angle O_1AK=\frac{180^\circ-\angle AO_1K}{2},\qquad \angle O_2AM=\frac{180^\circ-\angle AO_2M}{2}. \]
- Точки \(O_1\), \(A\), \(O_2\) лежат на одной прямой, значит
\[ \angle KAM=180^\circ-\angle O_1AK-\angle O_2AM =\frac{\angle AO_1K+\angle AO_2M}{2}. \]
- При \(O_1K\parallel O_2M\) и секущей \(O_1O_2\) углы \(\angle KO_1O_2\) и \(\angle MO_2O_1\) — внутренние односторонние, их сумма \(180^\circ\). Но \(\angle AO_1K=\angle KO_1O_2\), \(\angle AO_2M=\angle MO_2O_1\), поэтому
\[ \angle KAM=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ. \]
б) Длина \(MK\)
Опустим из \(O_1\) перпендикуляр \(O_1P\) на \(O_2M\). Тогда \(O_1PMK\) — прямоугольник: \(O_1P\parallel KM\), \(O_1K\parallel PM\), углы прямые. Значит
\[ O_1P=MK,\qquad PM=O_1K=r,\qquad O_2P=R-r. \]
В прямоугольном треугольнике \(O_1PO_2\) гипотенуза \(O_1O_2=R+r\), катет \(O_2P=R-r\), поэтому
\[ MK=O_1P=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr}. \]
Проверка: при \(r=R\) получаем \(MK=2r\) — касательная параллельна линии центров, расстояние между точками касания как раз равно \(2r\). ✔
Идея решения: всё держится на двух вещах — радиусы в точки касания перпендикулярны касательной (отсюда параллельность \(O_1K\parallel O_2M\)) и линия центров при внешнем касании проходит через точку касания с суммой радиусов \(r+R\).
