1. Дано: AB=AD, ∠BAC=∠DAC Доказать: ΔABC=ΔADC
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Дано: \(AB=AD\), \angle BAC=\angle DAC Доказать: \triangle ABC=\triangle ADC [Рисунок: треугольники \(ABC\) и \(ADC\) с общей стороной \(AC\); вершины \(B\) и \(D\) расположены по разные стороны от \(AC\); на сторонах \(AB\) и \(AD\) одинаковые засечки; при вершине \(A\) отмечены равные углы \(BAC\) и \(DAC\).]
- Дано: \(AO=BO\), \(CO=DO\) Доказать: \triangle AOC=\triangle BOD. [Рисунок: отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\); на отрезках \(AO\) и \(BO\), \(CO\) и \(DO\) одинаковые засечки; изображены треугольники \(AOC\) и \(BOD\).]
- Дано: \(AB=AC\), \(AF=AK\) Доказать: \triangle ABK=\triangle ACF [Рисунок: треугольник \(ABC\); на стороне \(AB\) отмечена точка \(F\), на стороне \(AC\) — точка \(K\); проведены отрезки \(BK\) и \(CF\); на сторонах \(AB\) и \(AC\), а также \(AF\) и \(AK\) одинаковые засечки.]
- Дано: \angle 1=\angle 2, \(AD=AB\), \angle ACB=58^\circ, \angle ABC=102^\circ, \(DC=8\) см Найти: \angle ADC, \angle ACD, \(BC\). [Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\); проведена диагональ \(AC\); при вершине \(A\) отмечены углы 1 (между \(AD\) и \(AC\)) и 2 (между \(AC\) и \(AB\)); на сторонах \(AD\) и \(AB\) одинаковые засечки.]
- Дано: \(BC=AD\), \angle 1=\angle 2, \angle ACD=42^\circ, \angle ADC=108^\circ, \(CD=6\) см. Найти: \(AB\), \angle CAB, \angle ABC [Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\); проведена диагональ \(AC\); при вершине \(C\) отмечен угол 1 (между \(BC\) и \(AC\)), при вершине \(A\) — угол 2 (между \(AC\) и \(AD\)); на сторонах \(BC\) и \(AD\) одинаковые засечки.]
- На рисунке \angle CAD=\angle ACB, \(AD=BC\). Докажите, что \(AB=CD\). [Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\); проведена диагональ \(AC\); на сторонах \(AD\) и \(BC\) одинаковые засечки; отмечены углы \(CAD\) и \(ACB\).]
- Дано: \(AB=CB\), \angle ABH=\angle CBH Доказать: \(AH=HC\) [Рисунок: треугольник \(ABC\); на стороне \(AC\) отмечена точка \(H\); проведён отрезок \(BH\); на сторонах \(AB\) и \(CB\) одинаковые засечки; отмечены равные углы \(ABH\) и \(CBH\).]
- Дано: \angle ABE=\angle ECD, \(BE=CE\), \(BK=LC\), \angle BKE=110^\circ Доказать: \triangle BEK=\triangle ELC [Рисунок: точка \(E\) — вершина; на прямой последовательно расположены точки \(A\), \(B\), \(K\), \(L\), \(C\), \(D\); проведены отрезки \(EB\), \(EK\), \(EL\), \(EC\); на отрезках \(BE\) и \(CE\), \(BK\) и \(LC\) одинаковые засечки.]
На фото 8 заданий на равенство треугольников. Коротко: в №1–3, 6–8 нужно доказать равенство по первому признаку, в №4–5 — найти элементы из уже доказанного равенства.
Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
1. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\):
- \(AB=AD\) — по условию;
- \(AC\) — общая сторона;
- \(\angle BAC=\angle DAC\) — по условию, это углы между сторонами \(AB\) и \(AC\), \(AD\) и \(AC\).
По первому признаку \(\triangle ABC=\triangle ADC\).
2. Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\):
- \(AO=BO\) — по условию;
- \(CO=DO\) — по условию;
- \(\angle AOC=\angle BOD\) — вертикальные углы.
По первому признаку \(\triangle AOC=\triangle BOD\).
3. Рассмотрим \(\triangle ABK\) и \(\triangle ACF\):
- \(AB=AC\) — по условию;
- \(AK=AF\) — по условию;
- \(\angle BAK=\angle CAF\) — это общий угол \(A\).
По первому признаку \(\triangle ABK=\triangle ACF\).
4. Рассмотрим \(\triangle ADC\) и \(\triangle ABC\):
- \(AD=AB\) — по условию;
- \(AC\) — общая;
- \(\angle DAC=\angle BAC\), так как \(\angle1=\angle2\).
Треугольники равны по первому признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны: \[ \angle ADC=\angle ABC=102^\circ,\qquad \angle ACD=\angle ACB=58^\circ,\qquad DC=BC=8\text{ см}. \]
Ответ: \(\angle ADC=102^\circ\), \(\angle ACD=58^\circ\), \(BC=8\) см.
Проверка: в \(\triangle ABC\) угол \(\angle BAC=180^\circ-102^\circ-58^\circ=20^\circ\), значит, и \(\angle DAC=20^\circ\). Сумма углов \(\triangle ADC\): \(102^\circ+58^\circ+20^\circ=180^\circ\).
5. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):
- \(BC=AD\) — по условию;
- \(AC\) — общая;
- \(\angle BCA=\angle CAD\), так как \(\angle1=\angle2\).
По первому признаку \(\triangle ABC=\triangle CDA\). Тогда соответственные элементы: \[ AB=CD=6\text{ см},\qquad \angle CAB=\angle ACD=42^\circ,\qquad \angle ABC=\angle CDA=108^\circ. \]
Ответ: \(AB=6\) см, \(\angle CAB=42^\circ\), \(\angle ABC=108^\circ\).
Проверка: \(\angle BCA=180^\circ-42^\circ-108^\circ=30^\circ\), значит, \(\angle CAD=30^\circ\). Сумма углов \(\triangle ACD\): \(42^\circ+108^\circ+30^\circ=180^\circ\).
6. Рассмотрим \(\triangle ACD\) и \(\triangle CAB\):
- \(AD=BC\) — по условию;
- \(AC\) — общая;
- \(\angle CAD=\angle ACB\) — по условию.
По первому признаку \(\triangle ACD=\triangle CAB\). Следовательно, соответственные стороны \(AB\) и \(CD\) равны: \(AB=CD\).
7. Рассмотрим \(\triangle ABH\) и \(\triangle CBH\):
- \(AB=CB\) — по условию;
- \(BH\) — общая;
- \(\angle ABH=\angle CBH\) — по условию.
По первому признаку \(\triangle ABH=\triangle CBH\), поэтому \(AH=HC\).
8. Точки \(A,B,K,L,C,D\) лежат на одной прямой. Углы \(\angle ABE\) и \(\angle EBK\) смежные, поэтому \[ \angle EBK=180^\circ-\angle ABE. \] Аналогично \(\angle ECL=180^\circ-\angle ECD\). Так как \(\angle ABE=\angle ECD\), получаем \(\angle EBK=\angle ECL\).
Рассмотрим \(\triangle BEK\) и \(\triangle ELC\):
- \(BE=CE\) — по условию;
- \(BK=LC\) — по условию;
- \(\angle EBK=\angle ECL\) — доказано.
По первому признаку \(\triangle BEK=\triangle ELC\).
Угол \(110^\circ\) для доказательства не нужен. Из равенства треугольников следует \(\angle ELC=\angle BKE=110^\circ\).
Что запомнить: сначала выделяй два треугольника, затем ищи две пары равных сторон и угол именно между ними. Общая сторона, вертикальные и смежные углы — самые частые подсказки.
