Реши номера 50 53 55

Question

Расшифровка фото нейросетью:
50. Даны четыре точки $A(2; 7; -3)$, $B(1; 0; 3)$, $C(-3; -4; 5)$, $D(-2; 3; -1)$. Укажите среди векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ равные векторы.

51. Даны векторы $\vec{a}(2; n; 3)$ и $\vec{c}(3; 2; m)$. При каких $m$ и $n$ эти векторы коллинеарны?

52. При каком значении $n$ данные векторы перпендикулярны:

1. $\vec{a}(2; -1; 3)$, $\vec{b}(1; 3; n)$;

2. $\vec{a}(n; -2; 1)$, $\vec{b}(n; 2n; 4)$;

3. $\vec{a}(n; -2; 1)$, $\vec{b}(n; -n; 1)$;

4. $\vec{a}(4; 2n; -1)$, $\vec{b}(-1; 1; n)$?

Answer

Краткие ответы

№ 50.
$$
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},\qquad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
$$

№ 53.
$$
n=\frac{4}{3},\qquad m=\frac{9}{2}.
$$

№ 55.

1. $n=\frac{1}{3}$;

2. $n=2$;

3. $n=-1$;

4. $n=4$.

№ 50

Вектор $\overrightarrow{MN}$ находится по формуле $N-M$: из координат конца вычитаем координаты начала.

$$
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;\ 0-7;\ 3-(-3))=(-1;-7;6).
$$

$$
\overrightarrow{DC}=C-D=(-3-(-2);\ -4-3;\ 5-(-1))=(-1;-7;6).
$$

Значит,
$$
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
$$

Аналогично:

$$
\overrightarrow{BC}=C-B=(-4;-4;2),
$$
$$
\overrightarrow{AD}=D-A=(-4;-4;2).
$$

Значит,
$$
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
$$

Остальные векторы:
$$
\overrightarrow{AC}=(-5;-11;8),\qquad
\overrightarrow{BD}=(-3;3;-4),
$$
они ни с одним из данных векторов не совпадают.

№ 53

Векторы коллинеарны, если один из них получается из другого умножением на одно и то же число. Пусть
$$
\vec a=\lambda \vec c.
$$

Первая координата:
$$
2=3\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2}{3}.
$$

Вторая координата:
$$
n=2\lambda=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
$$

Третья координата:
$$
3=m\lambda=m\cdot\frac{2}{3}
\quad\Rightarrow\quad
m=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}.
$$

Проверка:
$$
\vec a=\left(2;\frac43;3\right),\qquad
\vec c=\left(3;2;\frac92\right),
$$
и $\vec a=\frac23\vec c$.

№ 55

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
$$
\vec a\cdot\vec b=0.
$$

1)

$$
2\cdot1+(-1)\cdot3+3\cdot n=0,
$$
$$
2-3+3n=0,\qquad 3n=1,
$$
$$
\boxed{n=\frac13}.
$$

2)

$$
n\cdot n+(-2)\cdot 2n+1\cdot4=0,
$$
$$
n^2-4n+4=0,
$$
$$
(n-2)^2=0,
$$
$$
\boxed{n=2}.
$$

3)

$$
n\cdot n+(-2)\cdot(-n)+1\cdot1=0,
$$
$$
n^2+2n+1=0,
$$
$$
(n+1)^2=0,
$$
$$
\boxed{n=-1}.
$$

4)

$$
4\cdot(-1)+2n\cdot1+(-1)\cdot n=0,
$$
$$
-4+2n-n=0,
$$
$$
n-4=0,
$$
$$
\boxed{n=4}.
$$

Все найденные значения действительно обращают скалярное произведение в нуль.