реши примеры

Я уже разобрал все четыре пункта (а–г) из прошлого сообщения — с заменами и проверкой корней.

Уточни: нужно оформить эти же примеры ещё подробнее или ты хотел прикрепить новые? Если новые — пришли их фото или текст.

Хорошо, оформляю все четыре пункта подробно — с заменой, обратной заменой и проверкой.

---

а) \((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0\)

1. Замена. Выражение \(2x^2+3\) повторяется дважды, поэтому обозначим \[ y=2x^2+3. \]

2. Решаем уравнение относительно \(y\): \[ y^2-12y+11=0. \] По теореме Виета \(y_1+y_2=12\), \(y_1y_2=11\), значит \[ y_1=1,\qquad y_2=11. \]

3. Обратная замена.

Случай \(y=1\): \[ 2x^2+3=1 \Rightarrow 2x^2=-2 \Rightarrow x^2=-1. \] Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней здесь нет. (То же видно из оценки: \(2x^2+3\ge 3\), а \(1<3\).)

Случай \(y=11\): \[ 2x^2+3=11 \Rightarrow 2x^2=8 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. \]

4. Проверка. При \(x=2\): \(2x^2+3=11\), тогда \(11^2-12\cdot 11+11=121-132+11=0\). Верно; при \(x=-2\) значение \(2x^2+3\) тоже равно 11, поэтому проверка та же.

Ответ: \(x=\pm 2\).

---

б) \((t^2-2t)^2-3=2(t^2-2t)\)

1. Замена. Пусть \[ u=t^2-2t. \] Тогда уравнение принимает вид \[ u^2-3=2u. \]

2. Переносим всё в левую часть: \[ u^2-2u-3=0. \] Дискриминант \(D=4+12=16\), \(\sqrt{D}=4\): \[ u=\frac{2\pm 4}{2}, \] то есть \(u=3\) или \(u=-1\).

3. Обратная замена.

Случай \(u=3\): \[ t^2-2t=3 \Rightarrow t^2-2t-3=0. \] По Виету \(t_1+t_2=2\), \(t_1t_2=-3\), откуда \[ t=-1,\qquad t=3. \]

Случай \(u=-1\): \[ t^2-2t=-1 \Rightarrow t^2-2t+1=0 \Rightarrow (t-1)^2=0 \Rightarrow t=1. \]

4. Проверка. При \(t=1\): \(t^2-2t=-1\), тогда \((-1)^2-3=-2\) и \(2\cdot(-1)=-2\) — совпадает. При \(t=-1\): \(t^2-2t=3\), слева \(9-3=6\), справа \(2\cdot 3=6\) — верно. При \(t=3\): \(t^2-2t=3\), получаем то же равенство — верно.

Ответ: \(t=-1,\ 1,\ 3\).

---

в) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\)

1. Замена. Общая часть множителей — это \(x^2+x\). Обозначим \[ y=x^2+x. \] Тогда \[ (y-1)(y+2)=40. \]

2. Раскрываем скобки: \[ y^2+2y-y-2=40, \] \[ y^2+y-42=0. \] По Виету \(y_1+y_2=-1\), \(y_1y_2=-42\), значит \[ y_1=6,\qquad y_2=-7. \]

3. Обратная замена.

Случай \(y=6\): \[ x^2+x-6=0. \] Корни: \(x_1+x_2=-1\), \(x_1x_2=-6\), откуда \[ x=-3,\qquad x=2. \]

Случай \(y=-7\): \[ x^2+x+7=0. \] Дискриминант \(D=1-28=-27<0\) — действительных корней нет.

4. Проверка. При \(x=2\): \(x^2+x=6\), тогда \((6-1)(6+2)=5\cdot 8=40\) — верно. При \(x=-3\): \(x^2+x=9-3=6\), получаем то же произведение — верно.

Ответ: \(x=-3,\ 2\).

---

г) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\)

1. Замена. Обозначим \[ y=2x^2+x. \] Тогда \[ (y-1)(y-4)+2=0. \]

2. Раскрываем скобки: \[ y^2-4y-y+4+2=0, \] \[ y^2-5y+6=0. \] По Виету \(y_1+y_2=5\), \(y_1y_2=6\), значит \[ y_1=2,\qquad y_2=3. \]

3. Обратная замена.

Случай \(y=2\): \[ 2x^2+x-2=0. \] Дискриминант: \[ D=1^2-4\cdot 2\cdot(-2)=1+16=17, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}. \]

Случай \(y=3\): \[ 2x^2+x-3=0, \] \[ D=1-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5, \] \[ x=\frac{-1\pm 5}{4}. \] Отсюда \[ x=\frac{4}{4}=1,\qquad x=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}. \]

4. Проверка. При \(x=1\): \(2x^2+x=3\), тогда \((3-1)(3-4)+2=2\cdot(-1)+2=0\) — верно. При \(x=-\tfrac32\): \(2\cdot\frac94-\frac32=\frac92-\frac32=3\), снова получаем 0 — верно. При \(x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\) имеем \(2x^2+x=2\), тогда \((2-1)(2-4)+2=-2+2=0\) — верно; второй корень с \(\sqrt{17}\) даёт то же значение \(y=2\).

Ответ: \(x=-\frac{3}{2},\ 1,\ \frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\).

---

Общий принцип: если в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, его обозначают новой буквой, решают квадратное уравнение относительно неё, а затем возвращаются к исходной переменной. После обратной замены обязательно проверяют, какие значения подходят (например, из-за знака квадрата).