На рисунке AC = BC, ∠CAD = ∠CBF. Докажите, что AD = BF. Запишите доказательство.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[обрезано] 2. На рисунке $AC = BC$, $\angle CAD = \angle CBF$. Докажите, что $AD = BF$. Запишите доказательство.
[Рисунок: треугольник $ABC$; точка $D$ лежит на стороне $CB$, точка $F$ — на стороне $CA$; проведены отрезки $AD$ и $BF$, которые пересекаются внутри треугольника.]

Answer

Краткий ответ. Треугольники $ACD$ и $BCF$ равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому $AD=BF$.

Доказательство

1. По рисунку $D$ лежит на $CB$, а $F$ — на $CA$. Значит, лучи $CD$ и $CB$ совпадают, а лучи $CF$ и $CA$ совпадают. Поэтому
$$
\angle ACD=\angle BCF
$$
— это один и тот же угол $ACB$.

2. По условию:
$$
AC=BC,\qquad \angle CAD=\angle CBF.
$$

3. Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCF$. В них сторона $AC$ равна стороне $BC$, а два прилежащих к ней угла соответственно равны:
$$
\angle CAD=\angle CBF,\qquad \angle ACD=\angle BCF.
$$
Значит,
$$
\triangle ACD=\triangle BCF
$$
по стороне и двум прилежащим углам — это второй признак равенства треугольников.

4. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. При этом $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$, $D\leftrightarrow F$. Следовательно, сторона $AD$ соответствует стороне $BF$:
$$
AD=BF.
$$

Что важно понять. Нужно найти два треугольника, у которых одна сторона уже дана равной, а два угла либо даны в условии, либо совпадают как общий угол на чертеже. После доказательства равенства треугольников равенство нужных отрезков получается автоматически.