Параллелограмм ABCD: ∠B = 108°, CD = 6 см, на сторонах BC, CD, AD засечки, у вершин A и D знаки вопроса, проведена диагональ AC
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Рукописный чертёж. Параллелограмм ABCD: A — слева, B — сверху слева, C — сверху справа, D — справа снизу. Внутри у вершины B записан угол 108°. Около стороны CD подписано: 6 см. На стороне BC — чёрточка и засечка; на стороне CD — засечка; на стороне AD — засечка. Слева у вершины A стоит знак «?»; около вершины D — знак «?». Проведена диагональ AC; у вершины A между стороной AB и диагональю AC нарисована дуга; примерно посередине диагонали AC — дуга.
Краткий ответ
\[ \angle A=\angle C=72^\circ,\qquad \angle D=\angle B=108^\circ, \] \[ AB=BC=CD=AD=6\ \text{см},\qquad P=24\ \text{см}, \] \[ \angle BAC=\angle CAD=\angle BCA=\angle ACD=36^\circ . \]
То есть в треугольнике \(ACD\) углы \(36^\circ,\ 36^\circ,\ 108^\circ\), а стороны \(AD=CD=6\) см. Знаки «?» на рисунке: у вершины \(A\) — угол \(A=72^\circ\) (а если речь о стороне \(AB\), то \(6\) см), у вершины \(D\) — угол \(D=108^\circ\).
Почему так
- Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому \(\angle D=\angle B=108^\circ\).
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), значит \[ \angle A=\angle C=180^\circ-108^\circ=72^\circ . \]
- Засечки — это метки равенства отрезков. На \(BC\) и \(CD\) стоят одинаковые одиночные засечки, значит \(BC=CD\). Но в параллелограмме \(AB=CD\) и \(BC=AD\), поэтому \(AB=BC=CD=AD\) — перед нами ромб. Отсюда все стороны по \(6\) см, а периметр \(P=4\cdot 6=24\) см.
- Диагональ ромба является биссектрисой его углов, поэтому \[ \angle BAC=\angle CAD=72^\circ:2=36^\circ,\qquad \angle BCA=\angle ACD=36^\circ . \]
- В треугольнике \(ACD\): \(\angle CAD=36^\circ\), \(\angle ACD=36^\circ\), \(\angle ADC=108^\circ\). Он равнобедренный, \(AD=CD=6\) см (углы при основании \(AC\) равны).
Проверка
\[ 36^\circ+36^\circ+108^\circ=180^\circ \] — сумма углов треугольника сходится; соседние углы ромба: \(72^\circ+108^\circ=180^\circ\). Всё согласовано.
Обсуждение
2 сообщенияКак решить
Давай разберём, как получить ответ, а не просто записать его.
1. Что дано
На рисунке \(ABCD\) — параллелограмм, причём:
- \(\angle B=108^\circ\);
- \(CD=6\) см;
- одинаковые засечки стоят на отрезках \(BC\) и \(CD\), значит \[ BC=CD. \]
2. Находим другие углы
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому
\[ \angle D=\angle B=108^\circ. \]
Сумма соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\):
\[ \angle A=180^\circ-108^\circ=72^\circ, \] \[ \angle C=72^\circ. \]
3. Понимаем, что это ромб
В параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]
Но по рисунку \(BC=CD\). Значит,
\[ AB=BC=CD=AD. \]
То есть все стороны равны — перед нами ромб.
Так как \(CD=6\) см, то
\[ AB=BC=CD=AD=6\ \text{см}. \]
Периметр:
\[ P=4\cdot 6=24\ \text{см}. \]
4. Находим углы при диагонали \(AC\)
В ромбе диагональ делит угол пополам. Поэтому
\[ \angle BAC=\angle CAD=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ, \] \[ \angle BCA=\angle ACD=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ. \]
5. Проверка
Рассмотрим треугольник \(ACD\):
\[ \angle CAD=36^\circ,\qquad \angle ACD=36^\circ,\qquad \angle ADC=108^\circ. \]
Сумма:
\[ 36^\circ+36^\circ+108^\circ=180^\circ. \]
Всё сходится.
Ответ
\[ \angle A=\angle C=72^\circ,\qquad \angle D=\angle B=108^\circ, \]
\[ AB=BC=CD=AD=6\ \text{см},\qquad P=24\ \text{см}, \]
\[ \angle BAC=\angle CAD=\angle BCA=\angle ACD=36^\circ. \]
Главная идея решения: одинаковые засечки превращают параллелограмм в ромб, а в ромбе все стороны равны и диагонали делят углы пополам.
