1. Найдите значение выражения, используя формулы приведения: а) cos 120°; б) cos 4π/3.

Краткие ответы

1. а) \(-\frac12\); б) \(-\frac12\).
2. \(-\frac{\sqrt3}{3}\).
3. а) \(5\); б) \(1\); в) \(0\).
4. Тождество верно.
5. \(-\cos\alpha\).

1. Формулы приведения

а)
\[ \cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\frac12. \]

б)
\[ \cos\frac{4\pi}{3}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12. \]

2. \(\operatorname{tg}330^\circ\)

\[ 330^\circ=360^\circ-30^\circ, \] поэтому \[ \operatorname{tg}330^\circ =\operatorname{tg}(360^\circ-30^\circ) =-\operatorname{tg}30^\circ =-\frac{\sqrt3}{3}. \]

Если оформлять через формулу разности: \[ \operatorname{tg}(360^\circ-30^\circ) =\frac{\operatorname{tg}360^\circ-\operatorname{tg}30^\circ} {1+\operatorname{tg}360^\circ\operatorname{tg}30^\circ} =\frac{0-\frac1{\sqrt3}}{1+0} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]

3. Вычисления

а)
\[ \sin61^\circ=\cos(90^\circ-61^\circ)=\cos29^\circ, \] поэтому \[ \frac{5\cos29^\circ}{\sin61^\circ}=5. \]

б)
\[ \operatorname{tg}77^\circ=\operatorname{ctg}13^\circ, \] значит \[ \operatorname{tg}13^\circ\cdot\operatorname{tg}77^\circ =\operatorname{tg}13^\circ\cdot\operatorname{ctg}13^\circ=1. \]

в)
\[ \operatorname{tg}81^\circ=\operatorname{ctg}9^\circ,\qquad \operatorname{tg}54^\circ=\operatorname{ctg}36^\circ. \] Тогда \[ \operatorname{tg}9^\circ\operatorname{tg}81^\circ=1,\qquad \operatorname{tg}54^\circ\operatorname{tg}36^\circ=1, \] следовательно, \[ \operatorname{tg}9^\circ\operatorname{tg}81^\circ- \operatorname{tg}54^\circ\operatorname{tg}36^\circ=1-1=0. \]

4. Доказательство тождества

Используем формулы приведения: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha, \] \[ \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha, \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha, \] \[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \] \[ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{ctg}\alpha. \]

Подставляем в левую часть: \[ (-\sin\alpha)(-\sin\alpha)-(\cos\alpha)(-\cos\alpha)+\operatorname{ctg}^2\alpha \] \[ =\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha =1+\operatorname{ctg}^2\alpha. \]

А по формуле \[ 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}. \] Значит, тождество доказано.

5. Упрощение выражения

Числитель: \[ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha, \] \[ \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha, \] поэтому \[ \sin(\pi+\alpha)\sin(2\pi+\alpha)=-\sin^2\alpha. \]

Знаменатель: \[ \operatorname{tg}(\pi+\alpha)=\operatorname{tg}\alpha, \] \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha. \] Тогда \[ \operatorname{tg}(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha =\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}. \]

Всё выражение: \[ \frac{-\sin^2\alpha}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}} =-\cos\alpha. \]

Ответ: \(-\cos\alpha\).

В №3 шрифт мелкий; я прочитал пункты как \(\operatorname{tg}13^\circ\operatorname{tg}77^\circ\) и \(\operatorname{tg}9^\circ\operatorname{tg}81^\circ-\operatorname{tg}54^\circ\operatorname{tg}36^\circ\).