6.13 6.21

Краткий ответ

6.13.

1. \(x=0\) или \(x=6\);
2. \(x=0\) или \(x=9\);
3. действительных корней нет;
4. действительных корней нет.

6.21.

1. \(x^{2}-5x=0\);
2. \(x^{2}-49=0\);
3. \(x^{2}-13=0\).

6.13

Общий приём: раскрыть скобки, перенести всё в одну сторону и привести подобные. Если после этого можно вынести \(x\), не сокращай на \(x\) — иначе потеряешь корень \(0\).

1)

\[ (2-x)(x-4)=-8 \] \[ 2x-8-x^{2}+4x=-8 \] \[ -x^{2}+6x=0 \] \[ x(6-x)=0 \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=6 \]

2)

\[ (x-5)(x-4)=20 \] \[ x^{2}-9x+20=20 \] \[ x^{2}-9x=0 \] \[ x(x-9)=0 \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=9 \]

3)

\[ (8-x)(x-2)=10x \] \[ -x^{2}+10x-16=10x \] \[ -x^{2}-16=0 \] \[ x^{2}=-16 \] Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.

4)

\[ (1-x)(9-x)=-10x \] \[ x^{2}-10x+9=-10x \] \[ x^{2}+9=0 \] \[ x^{2}=-9 \] Действительных корней нет.

6.21

Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения, то удобно записать: \[ (x-x_1)(x-x_2)=0 \] После раскрытия скобок получим квадратное уравнение.

1) Корни \(0\) и \(5\)

\[ (x-0)(x-5)=0 \] \[ x^{2}-5x=0 \]

2) Корни \(7\) и \(-7\)

\[ (x-7)(x+7)=0 \] \[ x^{2}-49=0 \]

3) Корни \(\sqrt{13}\) и \(-\sqrt{13}\)

\[ (x-\sqrt{13})(x+\sqrt{13})=0 \] \[ x^{2}-13=0 \]

Проверка:
Для 6.13 корни \(0;6\) и \(0;9\) подставляются в исходные уравнения. В 6.13.3 и 6.13.4 получились равенства \(x^{2}=-16\) и \(x^{2}=-9\), невозможные для действительных чисел.
Для 6.21 подстановка корней тоже даёт верные равенства: например, \(x^{2}-49=0\) при \(x=\pm7\).

Можно умножить любое из уравнений в 6.21 на ненулевое число — получится другой правильный вариант, но приведённые уравнения самые удобные.