теорема Пифагора
Краткий ответ
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
где \(a\) и \(b\) — катеты (стороны, образующие прямой угол), \(c\) — гипотенуза (сторона напротив прямого угла, самая длинная).
Ключевые шаги
1. Определи, где гипотенуза. Она всегда лежит против прямого угла и она самая длинная. Это главный источник ошибок: в формулу «в квадрате» входит именно она, а не любой удобный отрезок.
2. Выбери нужную запись формулы. Из основного равенства получаются три рабочих вида:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}, \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
То есть гипотенузу находим сложением квадратов, а катет — вычитанием.
3. Считай в два приёма. Сначала сумма (или разность) квадратов, потом корень. Не извлекай корень из каждого слагаемого отдельно: \(\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b\).
Почему это работает
Идея доказательства — подсчёт одной и той же площади двумя способами. Возьмём квадрат со стороной \(a+b\) и уложим в него четыре копии нашего треугольника. Свободная фигура в центре — квадрат со стороной \(c\), его площадь \(c^2\). С другой стороны, площадь большого квадрата минус четыре треугольника:
\[ (a+b)^2 - 4\cdot\frac{ab}{2} = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2 \]
Обе величины описывают одно и то же, значит \(c^2 = a^2 + b^2\).
Пример с проверкой
Катеты \(6\) и \(8\):
\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Проверка: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\). Сходится.
Обратная теорема — тоже инструмент
Если в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) выполнено \(a^2+b^2=c^2\), то треугольник прямоугольный, причём угол прямой лежит против стороны \(c\). Это способ проверять чертежи и распознавать прямоугольные треугольники.
Полезно помнить целые наборы («пифагоровы тройки»): \(3,4,5\); \(5,12,13\); \(8,15,17\); \(7,24,25\) и их увеличенные копии вроде \(6,8,10\).
Мини-проверка для себя: катеты \(9\) и \(12\) дают \(c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\) — это тройка \(3,4,5\), умноженная на \(3\). Если получилось так, принцип ты освоил.
