4. Дано: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁, a : b = 2 : 3, PΔABC = 39, PΔA₁B₁C₁ = 26. Найти: X, Y, Z
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- [Рисунок: слева треугольник \(ABC\): вершины \(A\) — внизу слева, \(B\) — вверху, \(C\) — внизу справа; стороны обозначены \(AB=x\), \(BC=y\), \(AC=z\). Справа треугольник \(A_1B_1C_1\): вершины \(A_1\) — внизу слева, \(B_1\) — вверху, \(C_1\) — внизу справа; стороны обозначены \(A_1B_1=b\), \(B_1C_1=a\), \(A_1C_1=11\).]
Дано: \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), \(a:b=2:3\) \(P_{\triangle ABC}=39\), \(P_{\triangle A_1B_1C_1}=26\)
Найти: \(x,y,z\)
Краткий ответ: \[ x=13{,}5,\quad y=9,\quad z=16{,}5 \] или в дробях: \[ x=\frac{27}{2},\quad y=9,\quad z=\frac{33}{2}. \]
Как решать:
Найдём коэффициент подобия. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ k=\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}}=\frac{39}{26}=\frac32. \] Значит, каждая сторона треугольника \(ABC\) в \(1{,}5\) раза больше соответствующей стороны треугольника \(A_1B_1C_1\).
Найдём стороны \(a\) и \(b\). Периметр меньшего треугольника: \[ a+b+11=26, \] поэтому \[ a+b=15. \] Дано \(a:b=2:3\), то есть всего \(2+3=5\) частей: \[ a=15\cdot\frac{2}{5}=6,\qquad b=15\cdot\frac{3}{5}=9. \]
По записи \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) соответствующие стороны такие: \[ AB\leftrightarrow A_1B_1=b,\quad BC\leftrightarrow B_1C_1=a,\quad AC\leftrightarrow A_1C_1=11. \] Поэтому: \[ x=AB=\frac32\cdot b=\frac32\cdot 9=13{,}5, \] \[ y=BC=\frac32\cdot a=\frac32\cdot 6=9, \] \[ z=AC=\frac32\cdot 11=16{,}5. \]
Проверка: \[ 13{,}5+9+16{,}5=39, \] и \[ \frac{13{,}5}{9}=\frac{9}{6}=\frac{16{,}5}{11}=1{,}5. \]
Ответ: \(x=13{,}5\), \(y=9\), \(z=16{,}5\).
