решение с ресунками

Задачи

138 Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен \(\varphi\). а) Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен \(d\). б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна \(m\).

139 Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

140 Из точки \(A\), не принадлежащей плоскости \(\alpha\), проведены к этой плоскости перпендикуляр \(AO\) и две равные наклонные \(AB\) и \(AC\). Известно, что \(\angle OAB = \angle BAC = 60^\circ\), \(AO = 1{,}5\) см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

141 Один конец данного отрезка лежит в плоскости \(\alpha\), а другой находится от неё на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости \(\alpha\).

142 Концы отрезка отстоят от плоскости \(\alpha\) на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости \(\alpha\).

143 Расстояние от точки \(M\) до каждой из вершин правильного треугольника \(ABC\) равно 4 см. Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\), если \(AB = 6\) см.

144 Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Докажите, что все точки прямой \(a\) равноудалены от плоскости \(\alpha\). Решение Через какую-нибудь точку прямой \(a\) проведём плоскость \(\beta\), параллельную плоскости \(\alpha\) (задача 59). Прямая \(a\) лежит в плоскости \(\beta\), так как в противном случае она пересекала бы плоскость \(\beta\), а значит, пересекала бы и плоскость \(\alpha\) (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости \(\beta\) равноудалены от плоскости \(\alpha\), поэтому и все точки прямой \(a\), лежащей в плоскости \(\beta\), равноудалены от плоскости \(\alpha\), что и требовалось доказать.

145 Через вершину \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник \(CBD\) прямоугольный. б) Найдите \(BD\), если \(BC = a\), \(DC = b\).

146 Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\) и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) проходит прямая, перпендикулярная к прямой \(a\), и притом только одна.

147 Из точки \(M\) проведён перпендикуляр \(MB\) к плоскости прямоугольника \(ABCD\). Докажите, что треугольники \(AMD\) и \(MCD\) прямоугольные.

148 Прямая \(AK\) перпендикулярна к плоскости правильного треугольника \(ABC\), а точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Докажите, что \(MK \perp BC\).

149 Отрезок \(AD\) перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника \(ABC\). Известно, что \(AB = AC = 5\) см, \(BC = 6\) см, \(AD = 12\) см. Найдите расстояния от концов отрезка \(AD\) до прямой \(BC\).

150 Через вершину \(A\) прямоугольника \(ABCD\) проведена прямая \(AK\), перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что \(KD = 6\) см, \(KB = 7\) см, \(KC = 9\) см. Найдите: а) расстояние от точки \(K\) до плоскости прямоугольника \(ABCD\); б) расстояние между прямыми \(AK\) и \(CD\).

151 Прямая \(CD\) перпендикулярна к плоскости треугольника \(ABC\). Докажите, что: а) треугольник \(ABC\) является проекцией треугольника \(ABD\) на плоскость \(ABC\); б) если \(CH\) — высота треугольника \(ABC\), то \(DH\) — высота треугольника \(ABD\).

152 Через вершину \(B\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(BF\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки \(F\) до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если \(BF = 8\) дм, \(AB = 4\) дм.

153 Докажите, что прямая \(a\), проведённая в плоскости \(\alpha\) через основание \(M\) наклонной \(AM\) перпендикулярно к ней, перпендикулярна к её проекции \(HM\) (см. рис. 53). Решение Прямая \(a\) перпендикулярна к плоскости \(AMH\), так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (\(a \perp AM\) по условию и \(a \perp AH\), так как \(AH \perp \alpha\)). Отсюда следует, что прямая \(a\) перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости \(AMH\), в частности \(a \perp HM\), что и требовалось доказать.

154 Прямая \(BD\) перпендикулярна к плоскости треугольника \(ABC\). Известно, что \(BD = 9\) см, \(AC = 10\) см, \(BC = BA = 13\) см. Найдите: а) расстояние от точки \(D\) до прямой \(AC\); б) площадь треугольника \(ACD\).

155 Через вершину прямого угла \(C\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) проведена прямая \(CM\), перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\), если \(AC = 4\) см, а \(CM = 2\sqrt{7}\) см.