447. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в n раз?

Кратко

447. Площадь квадрата при увеличении стороны:

• в 2 раза → площадь в 4 раза;
• в 3 раза → в 9 раз;
• в 10 раз → в 100 раз;
• в \(n\) раз → в \(n^2\) раз.

448. Объём куба при увеличении ребра:

• в 2 раза → объём в 8 раз;
• в 3 раза → в 27 раз;
• в 10 раз → в 1000 раз;
• в \(n\) раз → в \(n^3\) раз.

Почему так

Квадрат. Площадь квадрата со стороной \(a\): \[S = a^2\] Если сторону увеличили в \(k\) раз, новая сторона \(ka\), значит \[S' = (ka)^2 = k^2 a^2 = k^2 S\] То есть площадь растёт в \(k^2\) раз — «в квадрате», отсюда и название.

Куб. Объём куба с ребром \(a\): \[V = a^3\] Новое ребро \(ka\), тогда \[V' = (ka)^3 = k^3 a^3 = k^3 V\] Объём растёт в \(k^3\) раз.

Сводная таблица

Проверка

Возьмём квадрат со стороной 1: \(S = 1\). Увеличим сторону в 2 раза → сторона 2, \(S = 4\). Было 1, стало 4 — выросла в 4 раза. ✔

Куб с ребром 1: \(V = 1\). Ребро 2 → \(V = 8\). Вырос в 8 раз. ✔

Общее правило для похожих задач: если все линейные размеры фигуры увеличить в \(k\) раз, то площади увеличиваются в \(k^2\) раз, а объёмы — в \(k^3\) раз.