реши номер 1013 1014 1015

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1013 Найдите sin α, если:
а) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$; б) $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$; в) $\cos \alpha = -1$.

1014 Найдите cos α, если:
а) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$; б) $\sin \alpha = \frac{1}{4}$; в) $\sin \alpha = 0$.

1015 Найдите tg α, если:
а) $\cos \alpha = 1$; б) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0° < \alpha < 90°$;
г) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90° < \alpha < 180°$.

Answer

Ответы

1013. а) $\sin\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; б) $\sin\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$; в) $\sin\alpha=0$.

1014. а) $\cos\alpha=\pm\dfrac{1}{2}$; б) $\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$; в) $\cos\alpha=\pm1$.

1015. а) $\operatorname{tg}\alpha=0$; б) $\operatorname{tg}\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$; в) $\operatorname{tg}\alpha=1$; г) $\operatorname{tg}\alpha=-\dfrac{3}{4}$.

Как это устроено

Все три номера держатся на двух формулах:

$$
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
$$

Из первой неизвестная функция находится как $\pm\sqrt{1-(\text{известная})^2}$. Знак «$\pm$» остаётся, если четверть не указана: одно и то же значение синуса или косинуса бывает в двух четвертях. Если четверть задана условием на угол (1015 в, г), знак выбирается однозначно.

1013. Ищем $\sin\alpha$

а) $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это углы $60^\circ$ и $300^\circ$.

б) $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.

в) $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-1}=0$; здесь «$\pm$» не нужен — ноль один.

1014. Ищем $\cos\alpha$

а) $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\pm\frac{1}{2}$;

б) $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}$;

в) $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-0}=\pm1$.

1015. Ищем $\operatorname{tg}\alpha$

а) $\sin\alpha=0$, значит $\operatorname{tg}\alpha=\frac{0}{1}=0$.

б) $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\pm\frac{1}{2}$, тогда
$$
\operatorname{tg}\alpha=\frac{\pm\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\mp\frac{1}{\sqrt{3}}=\mp\frac{\sqrt{3}}{3},
$$
то есть $\operatorname{tg}\alpha=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$: во II четверти (угол $150^\circ$) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, в III четверти ($210^\circ$) $+\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) $0^\circ<\alpha<90^\circ$ — I четверть, косинус положителен: $\cos\alpha=+\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$.

г) $90^\circ<\alpha<180^\circ$ — II четверть, косинус отрицателен: $\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$, значит $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$.

Проверка

Сумма квадратов даёт 1: $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ в 1013 а; $\frac{1}{16}+\frac{15}{16}=1$ в 1014 б; $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ в 1015 г.

Знак тангенса согласуется с четвертью: в 1015 г он отрицателен, в 1015 в положителен.

В 1015 б $|\operatorname{tg}\alpha|=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}58$ — подходит для углов $150^\circ$ и $210^\circ$.

Главное, что стоит запомнить: корень даёт модуль значения, а четверть (из условия или из знака второй функции) задаёт знак.