Дано: ΔABC ∼ ΔA1B1C1, a : b = 2 : 3 PΔABC = 39, PΔA1B1C1 = 26 Найти: x, y, z
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- [Рисунок: слева треугольник \(ABC\): \(B\) — вершина вверху, \(A\) — внизу слева, \(C\) — внизу справа; на сторонах \(AB\), \(BC\), \(AC\) отмечены соответственно \(x\), \(y\), \(z\) (красным). Справа треугольник \(A_1B_1C_1\): \(B_1\) — вершина вверху, \(A_1\) — внизу слева, \(C_1\) — внизу справа; на сторонах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(A_1C_1\) отмечены соответственно \(b\), \(a\), \(11\); \(b\) и \(a\) — зелёным.] Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), \(a : b = 2 : 3\) \(P_{\triangle ABC} = 39\), \(P_{\triangle A_1B_1C_1} = 26\) Найти: \(x, y, z\)
Ответ:
\[
x=13{,}5,\qquad y=9,\qquad z=16{,}5.
\]
Как это получается
Запись \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) задаёт соответствие вершин: \[ A\leftrightarrow A_1,\quad B\leftrightarrow B_1,\quad C\leftrightarrow C_1. \] Поэтому соответствующие стороны: \[ AB\leftrightarrow A_1B_1,\quad BC\leftrightarrow B_1C_1,\quad AC\leftrightarrow A_1C_1. \] По рисунку: \[ \frac{x}{b}=\frac{y}{a}=\frac{z}{11}. \]
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ k=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle A_1B_1C_1}} =\frac{39}{26}=\frac32. \] Значит, левый треугольник в \(1{,}5\) раза больше правого: \[ x=\frac32 b,\qquad y=\frac32 a,\qquad z=\frac32\cdot 11=16{,}5. \]
Осталось найти \(a\) и \(b\). Периметр малого треугольника равен \(26\): \[ a+b+11=26, \] то есть \[ a+b=15. \] По условию \(a:b=2:3\). Пусть \(a=2t\), \(b=3t\). Тогда \[ 2t+3t=15,\qquad 5t=15,\qquad t=3. \] Отсюда \[ a=6,\qquad b=9. \]
Следовательно, \[ x=\frac32\cdot 9=13{,}5,\qquad y=\frac32\cdot 6=9. \]
Проверка:
\[
13{,}5+9+16{,}5=39,
\]
\[
6+9+11=26.
\]
Всё сходится.
