Реши уравнение x² − 2x + 2< 0
Краткий ответ
\[ x^2-2x+2<0 \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing \]
Решений нет: левая часть всегда положительна.
Почему так
Шаг 1. Выделим полный квадрат.
\[ x^2-2x+2=(x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1 \]
Шаг 2. Оценим результат.
Квадрат всегда неотрицателен: \((x-1)^2\ge 0\). Значит
\[ (x-1)^2+1\ge 1>0 \]
при любом \(x\). То есть выражение не может быть меньше нуля — тем более строго меньше.
Шаг 3. Вывод. Неравенство \(x^2-2x+2<0\) не выполняется ни при одном \(x\), множество решений пустое.
Проверка двумя способами
Через дискриминант:
\[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0 \]
Корней нет, ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\)) — вся парабола лежит выше оси \(Ox\).
Через вершину: \(x_0=\frac{2}{2}=1\), \(y_0=1^2-2\cdot 1+2=1\). Наименьшее значение равно \(1\), и оно положительно.
Как решать похожие задания
- Найди \(D\). Если \(D<0\) и \(a>0\) — выражение всегда \(>0\), значит «\(<0\)» решений не имеет (а «\(>0\)» верно при всех \(x\)).
- Если \(D<0\) и \(a<0\) — наоборот, выражение всегда отрицательно.
- Если \(D\ge 0\) — найди корни, нанеси их на числовую прямую и расставь знаки, начиная со знака коэффициента \(a\) на крайнем правом промежутке.
Частая ошибка — записывать в ответ, например, \(x<1\) или «\(x\) — любое». При \(D<0\) ответ либо «нет решений» (\(\varnothing\)), либо «\(x\in\mathbb{R}\)», в зависимости от знака неравенства.
