Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Способ 1. Через дискриминант (работает всегда).

Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) дискриминант равен \(D=b^{2}-4ac\). Здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\):

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. По теореме Виета (быстро, когда \(a=1\)).

Сумма корней равна \(-b\), то есть \(5\), а произведение равно \(c\), то есть \(6\). Подбираем два числа:

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6 \]

Значит, корни — \(2\) и \(3\).

Способ 3. Разложение на множители. Ищем числа, дающие в сумме \(-5\) и в произведении \(6\): это \(-2\) и \(-3\).

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), откуда \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\), \(D<0\) — корней нет. Теорема Виета удобна как проверка: сумма корней должна дать \(-b\), произведение — \(c\).