номер 122
Сверь числа и знаки с фото.
122 На рисунке 73, б) \(AB=BC\), \(CD=DE\). Докажите, что \(\angle BAC=\angle CED\). [Рисунок 73, б): треугольник \(ABC\) — \(A\) вверху, \(B\) справа, \(C\) внизу; треугольник \(CDE\) — \(C\) вверху, \(D\) слева, \(E\) внизу; стороны \(AB\) и \(BC\) отмечены одинаковыми одиночными штрихами, стороны \(CD\) и \(DE\) — одинаковыми двойными штрихами; точки \(A\), \(C\), \(E\) лежат на одной прямой, точки \(B\), \(C\), \(D\) — на одной прямой]
Краткий ответ
\[ \angle BAC=\angle BCA \quad(\text{равнобедренный } \triangle ABC) \] \[ \angle BCA=\angle DCE \quad(\text{вертикальные углы}) \] \[ \angle DCE=\angle CED \quad(\text{равнобедренный } \triangle CDE) \]
Значит, \(\angle BAC=\angle CED\), что и требовалось доказать.
Ключевые шаги
1. Находим «равнобедренность» в каждом треугольнике.
В \(\triangle ABC\) дано \(AB=BC\). Равные стороны сходятся в вершине \(B\), значит, основание — это \(AC\), а углы при основании равны: \[ \angle BAC=\angle BCA. \]
В \(\triangle CDE\) дано \(CD=DE\). Равные стороны сходятся в вершине \(D\), значит, основание — это \(CE\), и \[ \angle DCE=\angle CED. \]
2. Связываем два треугольника через точку \(C\).
По рисунку 73, б) точки \(A\), \(C\), \(E\) лежат на одной прямой и точки \(B\), \(C\), \(D\) — тоже. Поэтому лучи \(CA\) и \(CE\) — противоположные, лучи \(CB\) и \(CD\) — противоположные, а углы \(\angle BCA\) и \(\angle DCE\) — вертикальные. Вертикальные углы равны: \[ \angle BCA=\angle DCE. \]
3. Собираем цепочку равенств. \[ \angle BAC=\angle BCA=\angle DCE=\angle CED. \]
Принцип решения: у двух равнобедренных треугольников с общей вершиной \(C\) «сцепкой» служат вертикальные углы при этой вершине.
Проверка
Пусть \(\angle BAC=40°\). Тогда \(\angle BCA=40°\), значит \(\angle DCE=40°\) как вертикальный, а \(\angle CED=40°\) как угол при основании \(\triangle CDE\). Все четыре угла совпали, равенство \(\angle BAC=\angle CED\) выполняется. Для контроля: \(\angle ABC=180°-2\cdot 40°=100°\) и \(\angle CDE=180°-2\cdot 40°=100°\) — суммы углов треугольников сходятся.
Обсуждение
2 сообщенияНапиши просто как записать в тетрадь
№ 122
Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDE\); \(AB=BC\), \(CD=DE\); \(A\), \(C\), \(E\) лежат на одной прямой, \(B\), \(C\), \(D\) — на одной прямой.
Доказать: \(\angle BAC=\angle CED\).
Доказательство:
\(AB=BC\), значит \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \[ \angle BAC=\angle BCA. \]
\(CD=DE\), значит \(\triangle CDE\) равнобедренный с основанием \(CE\), поэтому \[ \angle DCE=\angle CED. \]
\(\angle BCA=\angle DCE\) — вертикальные углы.
Следовательно, \[ \angle BAC=\angle BCA=\angle DCE=\angle CED, \] то есть \(\angle BAC=\angle CED\). Ч. т. д.
