421. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно -12. Найдите эти числа.

Задание 421 на фото — это та же задача, которую мы уже разобрали: подходят пары \(-4\) и \(3\) или \(-3\) и \(4\). Теперь решаю задачу 422.

Краткий ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника — \(a\) и \(b\). Периметр равен 28 см:

\[ 2(a+b)=28 \]

Отсюда:

\[ a+b=14 \]

Диагональ прямоугольника равна 10 см, поэтому по теореме Пифагора:

\[ a^{2}+b^{2}=10^{2}=100 \]

Возведём сумму сторон в квадрат:

\[ (a+b)^{2}=14^{2}=196 \]

Но также:

\[ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 196=100+2ab \]

\[ 2ab=96 \]

\[ ab=48 \]

Значит, стороны \(a\) и \(b\) — корни квадратного уравнения:

\[ t^{2}-14t+48=0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D=14^{2}-4\cdot 48=196-192=4 \]

Корни:

\[ t_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2} \]

\[ t_{1}=8,\qquad t_{2}=6 \]

Проверка:

\[ 6+8=14,\qquad 2\cdot 14=28 \]

\[ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} \]

Всё сходится.

Ответ: \(6\) см и \(8\) см.

Вот схема к задаче 422: прямоугольник \(8\text{ см}\times 6\text{ см}\), диагональ \(10\text{ см}\).

A ───────────── 8 см ───────────── B
│ ╲                                 │
│   ╲                               │
│     ╲                             │
6 см   ╲ 10 см                      │
│       ╲                           │
│         ╲                         │
│           ╲                       │
D ──────────────────────────────── C

Обозначения:

• \(AB=CD=8\) см;
• \(AD=BC=6\) см;
• диагональ \(AC=10\) см.

Как начертить на клетчатой бумаге:

1. Возьми масштаб \(1\) см \(=2\) клетки.
2. Отложи вправо \(16\) клеток — это сторона \(8\) см.
3. Вниз отложи \(12\) клеток — это сторона \(6\) см.
4. Дострой прямоугольник.
5. Проверь диагональ:

\[ AC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}. \]

Схема соответствует условию задачи.

Хорошо. Пусть основание прямоугольника равно \(x\) см. Тогда смежная сторона:

\[ 14-x \]

потому что сумма двух смежных сторон равна половине периметра:

\[ a+b=\frac{28}{2}=14. \]

Диагональ равна \(10\) см, значит по теореме Пифагора:

\[ x^{2}+(14-x)^{2}=10^{2}. \]

Раскроем скобки:

\[ x^{2}+196-28x+x^{2}=100, \]

\[ 2x^{2}-28x+96=0. \]

Разделим на \(2\):

\[ x^{2}-14x+48=0. \]

Дискриминант:

\[ D=14^{2}-4\cdot 48=196-192=4. \]

Корни:

\[ x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}. \]

Значит:

\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=6. \]

Если основание на схеме — длинная сторона, то:

\[ x=8\text{ см}, \]

а высота:

\[ 14-8=6\text{ см}. \]

Ответ: стороны прямоугольника \(8\) см и \(6\) см; основание \(x=8\) см, высота \(6\) см.

Да, обозначим так:

• основание — \(x\) см;
• высота — \(y\) см.

Тогда условия задачи записываются системой:

\[ \begin{cases} 2(x+y)=28,\\ x^{2}+y^{2}=10^{2}. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ x+y=14. \]

Второе уравнение:

\[ x^{2}+y^{2}=100. \]

Возведём \(x+y\) в квадрат:

\[ (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}. \]

Подставим известные значения:

\[ 14^{2}=100+2xy, \]

\[ 196=100+2xy, \]

\[ 2xy=96, \]

\[ xy=48. \]

Значит, \(x\) и \(y\) — корни уравнения:

\[ t^{2}-14t+48=0. \]

Его корни:

\[ t_{1}=8,\qquad t_{2}=6. \]

Следовательно, стороны прямоугольника равны \(6\) см и \(8\) см. Если основание — большая сторона, то:

\[ x=8\text{ см},\qquad y=6\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 2(8+6)=28, \]

\[ 8^{2}+6^{2}=64+36=100=10^{2}. \]

Ответ: \(x=8\) см, \(y=6\) см (или наоборот, если основанием считать меньшую сторону).