Алёша Попович сказал: «У Змея Горыныча больше трёх голов». Добрыня Никитич сказал: «У Змея Горыныча больше четырёх голов».

Краткий ответ:

1. 4 головы;
2. 5 голов.

Как рассуждать.
Обозначим число голов через \(N\). Все четыре фразы устроены одинаково:

\[ N>3,\qquad N>4,\qquad N>5,\qquad N>6. \]

Если верно более «сильное» утверждение, например \(N>6\), то автоматически верны и все предыдущие. Поэтому число правдивых высказываний зависит только от того, в какой промежуток попало \(N\). Для целого \(N\):

• \(N\le 3\) — неверны все четыре;
• \(N=4\) — верно только \(N>3\);
• \(N=5\) — верны \(N>3\) и \(N>4\);
• \(N=6\) — верны первые три;
• \(N\ge 7\) — верны все четыре.

Отсюда:

1. Ровно один сказал правду, значит \(N=4\). Проверка: при 4 головах верно только «больше трёх», а «больше четырёх» уже неверно.

2. Ровно двое сказали правду, значит \(N=5\). Проверка: верны «больше трёх» и «больше четырёх», а «больше пяти» неверно.