Найдите натуральное число,

Ответ: \(x=6\).

Решаем по шагам:

\[ 2\frac{13}{16}<x-2\frac14<3\frac{19}{24} \]

Чтобы оставить \(x\) в середине, прибавим \(2\frac14\) ко всем трём частям неравенства:

\[ 2\frac{13}{16}+2\frac14<x<3\frac{19}{24}+2\frac14 \]

Считаем границы:

\[ 2\frac{13}{16}+2\frac14 =\frac{45}{16}+\frac94 =\frac{45}{16}+\frac{36}{16} =\frac{81}{16} =5\frac1{16} \]

\[ 3\frac{19}{24}+2\frac14 =\frac{91}{24}+\frac94 =\frac{91}{24}+\frac{54}{24} =\frac{145}{24} =6\frac1{24} \]

Получаем:

\[ 5\frac1{16}<x<6\frac1{24} \]

Натуральные числа — это \(1,2,3,\ldots\). В этот промежуток попадает только число \(6\).

Проверка:

\[ 6-2\frac14=3\frac34 \]

И действительно:

\[ 2\frac{13}{16}<3\frac34<3\frac{19}{24} \]

То есть \(x=6\) подходит.